Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101872 / 96240
↖ ↑ ↗
← S 64.148952°
E 99.799804°		 ← 133.18 m → S 64.148952°
E 99.802551°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
S 64.150149°
E 99.799804°		 ← 133.17 m →
17 732 m²		 S 64.150149°
E 99.802551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777225494384766 y=0.734256744384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777225494384766 × 217)
    floor (0.777225494384766 × 131072)
    floor (101872.5)     		tx = 101872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734256744384766 × 217)
    floor (0.734256744384766 × 131072)
    floor (96240.5)     		ty = 96240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101872 / 96240 ti = "17/101872/96240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101872/96240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101872 ÷ 217
    101872 ÷ 131072     		x = 0.7772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96240 ÷ 217
    96240 ÷ 131072     		y = 0.7342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    0.554443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.74183518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7342529296875 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4718545659342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74183518} λ = 1.74183518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4718545659342))-π/2
    2×atan(0.229499468374729)-π/2
    2×0.22559295222524-π/2
    0.451185904450481-1.57079632675     		φ = -1.11961042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74183518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.799804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11961042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.148952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101872 KachelY 96240 1.74183518 -1.11961042 99.799804 -64.148952
    Oben rechts KachelX + 1 101873 KachelY 96240 1.74188312 -1.11961042 99.802551 -64.148952
    Unten links KachelX 101872 KachelY + 1 96241 1.74183518 -1.11963132 99.799804 -64.150149
    Unten rechts KachelX + 1 101873 KachelY + 1 96241 1.74188312 -1.11963132 99.802551 -64.150149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11961042--1.11963132) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11961042--1.11963132) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74183518-1.74188312) × cos(-1.11961042) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436033074335782 × 6371000     		do = 133.175724393394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74183518-1.74188312) × cos(-1.11963132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436014265690161 × 6371000     		du = 133.169979748887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11961042)-sin(-1.11963132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436033074335782-0.436014265690161)×R²
    abs(1.74188312-1.74183518)×1.88086456212044e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88086456212044e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88086456212044e-05×40589641000000     		ar = 17732.4846280788m²