Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101871 / 96188
↖ ↑ ↗
← S 64.086607°
E 99.797058°		 ← 133.45 m → S 64.086607°
E 99.799804°		 →
↑
133.47 m
↓
↑
133.47 m
↓
S 64.087807°
E 99.797058°		 ← 133.44 m →
17 811 m²		 S 64.087807°
E 99.799804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777217864990234 y=0.733860015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777217864990234 × 217)
    floor (0.777217864990234 × 131072)
    floor (101871.5)     		tx = 101871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733860015869141 × 217)
    floor (0.733860015869141 × 131072)
    floor (96188.5)     		ty = 96188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101871 / 96188 ti = "17/101871/96188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101871/96188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101871 ÷ 217
    101871 ÷ 131072     		x = 0.777214050292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96188 ÷ 217
    96188 ÷ 131072     		y = 0.733856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777214050292969 × 2 - 1) × π
    0.554428100585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.74178725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733856201171875 × 2 - 1) × π
    -0.46771240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46936184715396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74178725} λ = 1.74178725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46936184715396))-π/2
    2×atan(0.230072259616752)-π/2
    2×0.226137016045987-π/2
    0.452274032091975-1.57079632675     		φ = -1.11852229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74178725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.797058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11852229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.086607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101871 KachelY 96188 1.74178725 -1.11852229 99.797058 -64.086607
    Oben rechts KachelX + 1 101872 KachelY 96188 1.74183518 -1.11852229 99.799804 -64.086607
    Unten links KachelX 101871 KachelY + 1 96189 1.74178725 -1.11854324 99.797058 -64.087807
    Unten rechts KachelX + 1 101872 KachelY + 1 96189 1.74183518 -1.11854324 99.799804 -64.087807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11852229--1.11854324) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dl = 133.472449999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11852229--1.11854324) × R
    2.09499999999085e-05 × 6371000     		dr = 133.472449999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74178725-1.74183518) × cos(-1.11852229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.437012057533196 × 6371000     		do = 133.446889022895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74178725-1.74183518) × cos(-1.11854324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.436993213841482 × 6371000     		du = 133.441134874941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11852229)-sin(-1.11854324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437012057533196-0.436993213841482)×R²
    abs(1.74183518-1.74178725)×1.88436917136214e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.88436917136214e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.88436917136214e-05×40589641000000     		ar = 17811.0992132095m²