Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10187 / 2508
↖ ↑ ↗
← N 77.098422°
E 43.835449°		 ← 545.51 m → N 77.098422°
E 43.857422°		 →
↑
545.61 m
↓
↑
545.61 m
↓
N 77.093516°
E 43.835449°		 ← 545.72 m →
297 695 m²		 N 77.093516°
E 43.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621795654296875 y=0.153106689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621795654296875 × 214)
    floor (0.621795654296875 × 16384)
    floor (10187.5)     		tx = 10187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153106689453125 × 214)
    floor (0.153106689453125 × 16384)
    floor (2508.5)     		ty = 2508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10187 / 2508 ti = "14/10187/2508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10187/2508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10187 ÷ 214
    10187 ÷ 16384     		x = 0.62176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2508 ÷ 214
    2508 ÷ 16384     		y = 0.153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62176513671875 × 2 - 1) × π
    0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153076171875 × 2 - 1) × π
    0.69384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17978669952319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76507292} λ = 0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17978669952319))-π/2
    2×atan(8.84441953860422)-π/2
    2×1.45820882397282-π/2
    2.91641764794565-1.57079632675     		φ = 1.34562132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34562132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.098422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10187 KachelY 2508 0.76507292 1.34562132 43.835449 77.098422
    Oben rechts KachelX + 1 10188 KachelY 2508 0.76545641 1.34562132 43.857422 77.098422
    Unten links KachelX 10187 KachelY + 1 2509 0.76507292 1.34553568 43.835449 77.093516
    Unten rechts KachelX + 1 10188 KachelY + 1 2509 0.76545641 1.34553568 43.857422 77.093516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34562132-1.34553568) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dl = 545.612439999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34562132-1.34553568) × R
    8.56399999999979e-05 × 6371000     		dr = 545.612439999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76507292-0.76545641) × cos(1.34562132) × R
    0.000383489999999931 × 0.223276954306655 × 6371000     		do = 545.513557028076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76507292-0.76545641) × cos(1.34553568) × R
    0.000383489999999931 × 0.223360431509999 × 6371000     		du = 545.717509765914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34562132)-sin(1.34553568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223276954306655-0.223360431509999)×R²
    abs(0.76545641-0.76507292)×8.347720334409e-05×R²
    0.000383489999999931×8.347720334409e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.347720334409e-05×40589641000000     		ar = 297694.622660901m²