Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101869 / 97899
↖ ↑ ↗
← S 66.065976°
E 99.791565°		 ← 123.91 m → S 66.065976°
E 99.794311°		 →
↑
123.92 m
↓
↑
123.92 m
↓
S 66.067090°
E 99.791565°		 ← 123.90 m →
15 354 m²		 S 66.067090°
E 99.794311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777202606201172 y=0.746913909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777202606201172 × 217)
    floor (0.777202606201172 × 131072)
    floor (101869.5)     		tx = 101869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746913909912109 × 217)
    floor (0.746913909912109 × 131072)
    floor (97899.5)     		ty = 97899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101869 / 97899 ti = "17/101869/97899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101869/97899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101869 ÷ 217
    101869 ÷ 131072     		x = 0.777198791503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97899 ÷ 217
    97899 ÷ 131072     		y = 0.746910095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777198791503906 × 2 - 1) × π
    0.554397583007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.74169137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746910095214844 × 2 - 1) × π
    -0.493820190429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.55138188240388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74169137} λ = 1.74169137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55138188240388))-π/2
    2×atan(0.211954874647394)-π/2
    2×0.208863762117504-π/2
    0.417727524235008-1.57079632675     		φ = -1.15306880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74169137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.791565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15306880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.065976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101869 KachelY 97899 1.74169137 -1.15306880 99.791565 -66.065976
    Oben rechts KachelX + 1 101870 KachelY 97899 1.74173931 -1.15306880 99.794311 -66.065976
    Unten links KachelX 101869 KachelY + 1 97900 1.74169137 -1.15308825 99.791565 -66.067090
    Unten rechts KachelX + 1 101870 KachelY + 1 97900 1.74173931 -1.15308825 99.794311 -66.067090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15306880--1.15308825) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dl = 123.915949999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15306880--1.15308825) × R
    1.94499999999209e-05 × 6371000     		dr = 123.915949999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74169137-1.74173931) × cos(-1.15306880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405684431830286 × 6371000     		do = 123.906467798163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74169137-1.74173931) × cos(-1.15308825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405666654196684 × 6371000     		du = 123.901038051265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15306880)-sin(-1.15308825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405684431830286-0.405666654196684)×R²
    abs(1.74173931-1.74169137)×1.77776336021673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77776336021673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77776336021673e-05×40589641000000     		ar = 15353.6512526265m²