Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101867 / 96249
↖ ↑ ↗
← S 64.159728°
E 99.786072°		 ← 133.12 m → S 64.159728°
E 99.788819°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
S 64.160925°
E 99.786072°		 ← 133.12 m →
17 726 m²		 S 64.160925°
E 99.788819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777187347412109 y=0.734325408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777187347412109 × 217)
    floor (0.777187347412109 × 131072)
    floor (101867.5)     		tx = 101867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734325408935547 × 217)
    floor (0.734325408935547 × 131072)
    floor (96249.5)     		ty = 96249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101867 / 96249 ti = "17/101867/96249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101867/96249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101867 ÷ 217
    101867 ÷ 131072     		x = 0.777183532714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96249 ÷ 217
    96249 ÷ 131072     		y = 0.734321594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777183532714844 × 2 - 1) × π
    0.554367065429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.74159550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734321594238281 × 2 - 1) × π
    -0.468643188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.47228599803078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74159550} λ = 1.74159550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47228599803078))-π/2
    2×atan(0.22940047629364)-π/2
    2×0.225498911151857-π/2
    0.450997822303713-1.57079632675     		φ = -1.11979850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74159550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.786072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11979850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.159728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101867 KachelY 96249 1.74159550 -1.11979850 99.786072 -64.159728
    Oben rechts KachelX + 1 101868 KachelY 96249 1.74164344 -1.11979850 99.788819 -64.159728
    Unten links KachelX 101867 KachelY + 1 96250 1.74159550 -1.11981940 99.786072 -64.160925
    Unten rechts KachelX + 1 101868 KachelY + 1 96250 1.74164344 -1.11981940 99.788819 -64.160925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11979850--1.11981940) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11979850--1.11981940) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74159550-1.74164344) × cos(-1.11979850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43586380766974 × 6371000     		do = 133.124025996661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74159550-1.74164344) × cos(-1.11981940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435844997310498 × 6371000     		du = 133.11828082877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11979850)-sin(-1.11981940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43586380766974-0.435844997310498)×R²
    abs(1.74164344-1.74159550)×1.88103592417832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88103592417832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88103592417832e-05×40589641000000     		ar = 17725.6007500391m²