Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101866 / 98986
↖ ↑ ↗
← S 67.248686°
E 99.783325°		 ← 118.12 m → S 67.248686°
E 99.786072°		 →
↑
118.05 m
↓
↑
118.05 m
↓
S 67.249748°
E 99.783325°		 ← 118.11 m →
13 944 m²		 S 67.249748°
E 99.786072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777179718017578 y=0.755207061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777179718017578 × 217)
    floor (0.777179718017578 × 131072)
    floor (101866.5)     		tx = 101866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755207061767578 × 217)
    floor (0.755207061767578 × 131072)
    floor (98986.5)     		ty = 98986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101866 / 98986 ti = "17/101866/98986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101866/98986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101866 ÷ 217
    101866 ÷ 131072     		x = 0.777175903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98986 ÷ 217
    98986 ÷ 131072     		y = 0.755203247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777175903320312 × 2 - 1) × π
    0.554351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74154756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755203247070312 × 2 - 1) × π
    -0.510406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60348929229088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74154756} λ = 1.74154756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60348929229088))-π/2
    2×atan(0.201193269663864)-π/2
    2×0.198542670790202-π/2
    0.397085341580403-1.57079632675     		φ = -1.17371099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74154756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17371099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.248686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101866 KachelY 98986 1.74154756 -1.17371099 99.783325 -67.248686
    Oben rechts KachelX + 1 101867 KachelY 98986 1.74159550 -1.17371099 99.786072 -67.248686
    Unten links KachelX 101866 KachelY + 1 98987 1.74154756 -1.17372952 99.783325 -67.249748
    Unten rechts KachelX + 1 101867 KachelY + 1 98987 1.74159550 -1.17372952 99.786072 -67.249748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17371099--1.17372952) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dl = 118.054629999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17371099--1.17372952) × R
    1.85299999999611e-05 × 6371000     		dr = 118.054629999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74154756-1.74159550) × cos(-1.17371099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386732109416638 × 6371000     		do = 118.11794070026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74154756-1.74159550) × cos(-1.17372952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.386715021130568 × 6371000     		du = 118.112721497842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17371099)-sin(-1.17372952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386732109416638-0.386715021130568)×R²
    abs(1.74159550-1.74154756)×1.70882860690558e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.70882860690558e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.70882860690558e-05×40589641000000     		ar = 13944.0617107992m²