Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101866 / 96234
↖ ↑ ↗
← S 64.141765°
E 99.783325°		 ← 133.21 m → S 64.141765°
E 99.786072°		 →
↑
133.22 m
↓
↑
133.22 m
↓
S 64.142963°
E 99.783325°		 ← 133.20 m →
17 746 m²		 S 64.142963°
E 99.786072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777179718017578 y=0.734210968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777179718017578 × 217)
    floor (0.777179718017578 × 131072)
    floor (101866.5)     		tx = 101866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734210968017578 × 217)
    floor (0.734210968017578 × 131072)
    floor (96234.5)     		ty = 96234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101866 / 96234 ti = "17/101866/96234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101866/96234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101866 ÷ 217
    101866 ÷ 131072     		x = 0.777175903320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96234 ÷ 217
    96234 ÷ 131072     		y = 0.734207153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777175903320312 × 2 - 1) × π
    0.554351806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74154756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734207153320312 × 2 - 1) × π
    -0.468414306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47156694453648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74154756} λ = 1.74154756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47156694453648))-π/2
    2×atan(0.229565486826303)-π/2
    2×0.225655666562037-π/2
    0.451311333124073-1.57079632675     		φ = -1.11948499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74154756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.783325°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11948499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.141765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101866 KachelY 96234 1.74154756 -1.11948499 99.783325 -64.141765
    Oben rechts KachelX + 1 101867 KachelY 96234 1.74159550 -1.11948499 99.786072 -64.141765
    Unten links KachelX 101866 KachelY + 1 96235 1.74154756 -1.11950590 99.783325 -64.142963
    Unten rechts KachelX + 1 101867 KachelY + 1 96235 1.74159550 -1.11950590 99.786072 -64.142963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11948499--1.11950590) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dl = 133.217610000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11948499--1.11950590) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dr = 133.217610000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74154756-1.74159550) × cos(-1.11948499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436145949205765 × 6371000     		do = 133.210199284086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74154756-1.74159550) × cos(-1.11950590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436127132704471 × 6371000     		du = 133.204452240254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11948499)-sin(-1.11950590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436145949205765-0.436127132704471)×R²
    abs(1.74159550-1.74154756)×1.88165012936503e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88165012936503e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88165012936503e-05×40589641000000     		ar = 17745.5615733093m²