Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101864 / 96250
↖ ↑ ↗
← S 64.160925°
E 99.777832°		 ← 133.12 m → S 64.160925°
E 99.780579°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
S 64.162122°
E 99.777832°		 ← 133.11 m →
17 716 m²		 S 64.162122°
E 99.780579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777164459228516 y=0.734333038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777164459228516 × 217)
    floor (0.777164459228516 × 131072)
    floor (101864.5)     		tx = 101864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734333038330078 × 217)
    floor (0.734333038330078 × 131072)
    floor (96250.5)     		ty = 96250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101864 / 96250 ti = "17/101864/96250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101864/96250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101864 ÷ 217
    101864 ÷ 131072     		x = 0.77716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96250 ÷ 217
    96250 ÷ 131072     		y = 0.734329223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77716064453125 × 2 - 1) × π
    0.5543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74145169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734329223632812 × 2 - 1) × π
    -0.468658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4723339349304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74145169} λ = 1.74145169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4723339349304))-π/2
    2×atan(0.229389479809606)-π/2
    2×0.225488464397514-π/2
    0.450976928795028-1.57079632675     		φ = -1.11981940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74145169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11981940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.160925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101864 KachelY 96250 1.74145169 -1.11981940 99.777832 -64.160925
    Oben rechts KachelX + 1 101865 KachelY 96250 1.74149963 -1.11981940 99.780579 -64.160925
    Unten links KachelX 101864 KachelY + 1 96251 1.74145169 -1.11984029 99.777832 -64.162122
    Unten rechts KachelX + 1 101865 KachelY + 1 96251 1.74149963 -1.11984029 99.780579 -64.162122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11981940--1.11984029) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dl = 133.090190000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11981940--1.11984029) × R
    2.08900000000511e-05 × 6371000     		dr = 133.090190000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74145169-1.74149963) × cos(-1.11981940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435844997310498 × 6371000     		do = 133.11828082877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74145169-1.74149963) × cos(-1.11984029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.435826195761183 × 6371000     		du = 133.112538351657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11981940)-sin(-1.11984029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435844997310498-0.435826195761183)×R²
    abs(1.74149963-1.74145169)×1.88015493147731e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88015493147731e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88015493147731e-05×40589641000000     		ar = 17716.3551549768m²