Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101863 / 96225
↖ ↑ ↗
← S 64.130982°
E 99.775085°		 ← 133.26 m → S 64.130982°
E 99.777832°		 →
↑
133.22 m
↓
↑
133.22 m
↓
S 64.132180°
E 99.775085°		 ← 133.26 m →
17 752 m²		 S 64.132180°
E 99.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777156829833984 y=0.734142303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777156829833984 × 217)
    floor (0.777156829833984 × 131072)
    floor (101863.5)     		tx = 101863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734142303466797 × 217)
    floor (0.734142303466797 × 131072)
    floor (96225.5)     		ty = 96225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101863 / 96225 ti = "17/101863/96225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101863/96225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101863 ÷ 217
    101863 ÷ 131072     		x = 0.777153015136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96225 ÷ 217
    96225 ÷ 131072     		y = 0.734138488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777153015136719 × 2 - 1) × π
    0.554306030273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.74140375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734138488769531 × 2 - 1) × π
    -0.468276977539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.4711355124399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74140375} λ = 1.74140375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4711355124399))-π/2
    2×atan(0.229664550113592)-π/2
    2×0.225749768507079-π/2
    0.451499537014157-1.57079632675     		φ = -1.11929679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74140375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.775085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11929679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.130982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101863 KachelY 96225 1.74140375 -1.11929679 99.775085 -64.130982
    Oben rechts KachelX + 1 101864 KachelY 96225 1.74145169 -1.11929679 99.777832 -64.130982
    Unten links KachelX 101863 KachelY + 1 96226 1.74140375 -1.11931770 99.775085 -64.132180
    Unten rechts KachelX + 1 101864 KachelY + 1 96226 1.74145169 -1.11931770 99.777832 -64.132180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11929679--1.11931770) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dl = 133.217610000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11929679--1.11931770) × R
    2.09100000001516e-05 × 6371000     		dr = 133.217610000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74140375-1.74145169) × cos(-1.11929679) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.43631529813307 × 6371000     		do = 133.261922806143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74140375-1.74145169) × cos(-1.11931770) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.436296483348421 × 6371000     		du = 133.256176286619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11929679)-sin(-1.11931770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43631529813307-0.436296483348421)×R²
    abs(1.74145169-1.74140375)×1.88147846488795e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.88147846488795e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.88147846488795e-05×40589641000000     		ar = 17752.4520921211m²