Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101861 / 96259
↖ ↑ ↗
← S 64.171697°
E 99.769592°		 ← 133.07 m → S 64.171697°
E 99.772339°		 →
↑
133.03 m
↓
↑
133.03 m
↓
S 64.172893°
E 99.769592°		 ← 133.06 m →
17 701 m²		 S 64.172893°
E 99.772339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777141571044922 y=0.734401702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777141571044922 × 217)
    floor (0.777141571044922 × 131072)
    floor (101861.5)     		tx = 101861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734401702880859 × 217)
    floor (0.734401702880859 × 131072)
    floor (96259.5)     		ty = 96259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101861 / 96259 ti = "17/101861/96259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101861/96259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101861 ÷ 217
    101861 ÷ 131072     		x = 0.777137756347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96259 ÷ 217
    96259 ÷ 131072     		y = 0.734397888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777137756347656 × 2 - 1) × π
    0.554275512695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.74130788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734397888183594 × 2 - 1) × π
    -0.468795776367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.47276536702699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74130788} λ = 1.74130788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47276536702699))-π/2
    2×atan(0.229290535170879)-π/2
    2×0.225394463888491-π/2
    0.450788927776983-1.57079632675     		φ = -1.12000740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74130788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.769592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12000740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.171697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101861 KachelY 96259 1.74130788 -1.12000740 99.769592 -64.171697
    Oben rechts KachelX + 1 101862 KachelY 96259 1.74135582 -1.12000740 99.772339 -64.171697
    Unten links KachelX 101861 KachelY + 1 96260 1.74130788 -1.12002828 99.769592 -64.172893
    Unten rechts KachelX + 1 101862 KachelY + 1 96260 1.74135582 -1.12002828 99.772339 -64.172893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12000740--1.12002828) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dl = 133.026480000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12000740--1.12002828) × R
    2.08800000001119e-05 × 6371000     		dr = 133.026480000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74130788-1.74135582) × cos(-1.12000740) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.435675785521511 × 6371000     		do = 133.066599193518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74130788-1.74135582) × cos(-1.12002828) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.43565699126199 × 6371000     		du = 133.060858942896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12000740)-sin(-1.12002828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435675785521511-0.43565699126199)×R²
    abs(1.74135582-1.74130788)×1.87942595207824e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.87942595207824e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.87942595207824e-05×40589641000000     		ar = 17700.999494193m²