Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101857 / 96198
↖ ↑ ↗
← S 64.098607°
E 99.758606°		 ← 133.42 m → S 64.098607°
E 99.761353°		 →
↑
133.41 m
↓
↑
133.41 m
↓
S 64.099807°
E 99.758606°		 ← 133.41 m →
17 799 m²		 S 64.099807°
E 99.761353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777111053466797 y=0.733936309814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777111053466797 × 217)
    floor (0.777111053466797 × 131072)
    floor (101857.5)     		tx = 101857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733936309814453 × 217)
    floor (0.733936309814453 × 131072)
    floor (96198.5)     		ty = 96198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101857 / 96198 ti = "17/101857/96198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101857/96198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101857 ÷ 217
    101857 ÷ 131072     		x = 0.777107238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96198 ÷ 217
    96198 ÷ 131072     		y = 0.733932495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777107238769531 × 2 - 1) × π
    0.554214477539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.74111613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733932495117188 × 2 - 1) × π
    -0.467864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46984121615016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74111613} λ = 1.74111613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46984121615016))-π/2
    2×atan(0.229961996539068)-π/2
    2×0.226032293610363-π/2
    0.452064587220725-1.57079632675     		φ = -1.11873174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74111613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.758606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11873174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.098607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101857 KachelY 96198 1.74111613 -1.11873174 99.758606 -64.098607
    Oben rechts KachelX + 1 101858 KachelY 96198 1.74116407 -1.11873174 99.761353 -64.098607
    Unten links KachelX 101857 KachelY + 1 96199 1.74111613 -1.11875268 99.758606 -64.099807
    Unten rechts KachelX + 1 101858 KachelY + 1 96199 1.74116407 -1.11875268 99.761353 -64.099807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11873174--1.11875268) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dl = 133.408739999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11873174--1.11875268) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dr = 133.408739999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74111613-1.74116407) × cos(-1.11873174) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436823656963526 × 6371000     		do = 133.417188677504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74111613-1.74116407) × cos(-1.11875268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436804820350231 × 6371000     		du = 133.411435490949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11873174)-sin(-1.11875268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436823656963526-0.436804820350231)×R²
    abs(1.74116407-1.74111613)×1.88366132949369e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88366132949369e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88366132949369e-05×40589641000000     		ar = 17798.6352736404m²