Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101855 / 98975
↖ ↑ ↗
← S 67.236999°
E 99.753113°		 ← 118.15 m → S 67.236999°
E 99.755859°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
S 67.238062°
E 99.753113°		 ← 118.15 m →
13 963 m²		 S 67.238062°
E 99.755859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777095794677734 y=0.755123138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777095794677734 × 217)
    floor (0.777095794677734 × 131072)
    floor (101855.5)     		tx = 101855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755123138427734 × 217)
    floor (0.755123138427734 × 131072)
    floor (98975.5)     		ty = 98975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101855 / 98975 ti = "17/101855/98975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101855/98975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101855 ÷ 217
    101855 ÷ 131072     		x = 0.777091979980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98975 ÷ 217
    98975 ÷ 131072     		y = 0.755119323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777091979980469 × 2 - 1) × π
    0.554183959960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.74102026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755119323730469 × 2 - 1) × π
    -0.510238647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.60296198639506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74102026} λ = 1.74102026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60296198639506))-π/2
    2×atan(0.201299388037121)-π/2
    2×0.198644658646539-π/2
    0.397289317293078-1.57079632675     		φ = -1.17350701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74102026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.753113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17350701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.236999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101855 KachelY 98975 1.74102026 -1.17350701 99.753113 -67.236999
    Oben rechts KachelX + 1 101856 KachelY 98975 1.74106819 -1.17350701 99.755859 -67.236999
    Unten links KachelX 101855 KachelY + 1 98976 1.74102026 -1.17352556 99.753113 -67.238062
    Unten rechts KachelX + 1 101856 KachelY + 1 98976 1.74106819 -1.17352556 99.755859 -67.238062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17350701--1.17352556) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dl = 118.182050000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17350701--1.17352556) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dr = 118.182050000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74102026-1.74106819) × cos(-1.17350701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386920210115038 × 6371000     		do = 118.150740808827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74102026-1.74106819) × cos(-1.17352556) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.386903104848635 × 6371000     		du = 118.145517509954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17350701)-sin(-1.17352556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386920210115038-0.386903104848635)×R²
    abs(1.74106819-1.74102026)×1.7105266402917e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7105266402917e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7105266402917e-05×40589641000000     		ar = 13962.9881082217m²