Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10185 / 14385
↖ ↑ ↗
← S 79.371754°
E 43.791504°		 ← 450.62 m → S 79.371754°
E 43.813476°		 →
↑
450.56 m
↓
↑
450.56 m
↓
S 79.375806°
E 43.791504°		 ← 450.45 m →
202 990 m²		 S 79.375806°
E 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621673583984375 y=0.878021240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621673583984375 × 214)
    floor (0.621673583984375 × 16384)
    floor (10185.5)     		tx = 10185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878021240234375 × 214)
    floor (0.878021240234375 × 16384)
    floor (14385.5)     		ty = 14385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10185 / 14385 ti = "14/10185/14385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10185/14385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10185 ÷ 214
    10185 ÷ 16384     		x = 0.62164306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14385 ÷ 214
    14385 ÷ 16384     		y = 0.87799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62164306640625 × 2 - 1) × π
    0.2432861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76430593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.7559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37498575477606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76430593} λ = 0.76430593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37498575477606))-π/2
    2×atan(0.0930158142323293)-π/2
    2×0.0927489424434435-π/2
    0.185497884886887-1.57079632675     		φ = -1.38529844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76430593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.791504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38529844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.371754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10185 KachelY 14385 0.76430593 -1.38529844 43.791504 -79.371754
    Oben rechts KachelX + 1 10186 KachelY 14385 0.76468942 -1.38529844 43.813476 -79.371754
    Unten links KachelX 10185 KachelY + 1 14386 0.76430593 -1.38536916 43.791504 -79.375806
    Unten rechts KachelX + 1 10186 KachelY + 1 14386 0.76468942 -1.38536916 43.813476 -79.375806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38529844--1.38536916) × R
    7.07200000000796e-05 × 6371000     		dl = 450.557120000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38529844--1.38536916) × R
    7.07200000000796e-05 × 6371000     		dr = 450.557120000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76430593-0.76468942) × cos(-1.38529844) × R
    0.000383489999999931 × 0.184435901687867 × 6371000     		do = 450.616522810702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76430593-0.76468942) × cos(-1.38536916) × R
    0.000383489999999931 × 0.184366394460544 × 6371000     		du = 450.446701724895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38529844)-sin(-1.38536916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184435901687867-0.184366394460544)×R²
    abs(0.76468942-0.76430593)×6.95072273230735e-05×R²
    0.000383489999999931×6.95072273230735e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.95072273230735e-05×40589641000000     		ar = 202990.225777635m²