Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101847 / 98974
↖ ↑ ↗
← S 67.235936°
E 99.731140°		 ← 118.18 m → S 67.235936°
E 99.733887°		 →
↑
118.18 m
↓
↑
118.18 m
↓
S 67.236999°
E 99.731140°		 ← 118.18 m →
13 967 m²		 S 67.236999°
E 99.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777034759521484 y=0.755115509033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777034759521484 × 217)
    floor (0.777034759521484 × 131072)
    floor (101847.5)     		tx = 101847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755115509033203 × 217)
    floor (0.755115509033203 × 131072)
    floor (98974.5)     		ty = 98974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101847 / 98974 ti = "17/101847/98974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101847/98974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101847 ÷ 217
    101847 ÷ 131072     		x = 0.777030944824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98974 ÷ 217
    98974 ÷ 131072     		y = 0.755111694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777030944824219 × 2 - 1) × π
    0.554061889648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.74063676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755111694335938 × 2 - 1) × π
    -0.510223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60291404949544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74063676} λ = 1.74063676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60291404949544))-π/2
    2×atan(0.20130903793697)-π/2
    2×0.198653932729157-π/2
    0.397307865458314-1.57079632675     		φ = -1.17348846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74063676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.731140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17348846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.235936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101847 KachelY 98974 1.74063676 -1.17348846 99.731140 -67.235936
    Oben rechts KachelX + 1 101848 KachelY 98974 1.74068470 -1.17348846 99.733887 -67.235936
    Unten links KachelX 101847 KachelY + 1 98975 1.74063676 -1.17350701 99.731140 -67.236999
    Unten rechts KachelX + 1 101848 KachelY + 1 98975 1.74068470 -1.17350701 99.733887 -67.236999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17348846--1.17350701) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dl = 118.182050000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17348846--1.17350701) × R
    1.85500000000616e-05 × 6371000     		dr = 118.182050000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74063676-1.74068470) × cos(-1.17348846) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.3869373152483 × 6371000     		do = 118.180615843795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74063676-1.74068470) × cos(-1.17350701) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.386920210115038 × 6371000     		du = 118.175391495811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17348846)-sin(-1.17350701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3869373152483-0.386920210115038)×R²
    abs(1.74068470-1.74063676)×1.71051332627514e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.71051332627514e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.71051332627514e-05×40589641000000     		ar = 13966.5187390087m²