Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101843 / 96231
↖ ↑ ↗
← S 64.138172°
E 99.720154°		 ← 133.23 m → S 64.138172°
E 99.722900°		 →
↑
133.22 m
↓
↑
133.22 m
↓
S 64.139370°
E 99.720154°		 ← 133.22 m →
17 748 m²		 S 64.139370°
E 99.722900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.777004241943359 y=0.734188079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.777004241943359 × 217)
    floor (0.777004241943359 × 131072)
    floor (101843.5)     		tx = 101843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734188079833984 × 217)
    floor (0.734188079833984 × 131072)
    floor (96231.5)     		ty = 96231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101843 / 96231 ti = "17/101843/96231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101843/96231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101843 ÷ 217
    101843 ÷ 131072     		x = 0.777000427246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96231 ÷ 217
    96231 ÷ 131072     		y = 0.734184265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.777000427246094 × 2 - 1) × π
    0.554000854492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.74044501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734184265136719 × 2 - 1) × π
    -0.468368530273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.47142313383762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74044501} λ = 1.74044501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47142313383762))-π/2
    2×atan(0.229598503173393)-π/2
    2×0.225687029818002-π/2
    0.451374059636005-1.57079632675     		φ = -1.11942227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74044501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.720154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11942227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.138172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101843 KachelY 96231 1.74044501 -1.11942227 99.720154 -64.138172
    Oben rechts KachelX + 1 101844 KachelY 96231 1.74049295 -1.11942227 99.722900 -64.138172
    Unten links KachelX 101843 KachelY + 1 96232 1.74044501 -1.11944318 99.720154 -64.139370
    Unten rechts KachelX + 1 101844 KachelY + 1 96232 1.74049295 -1.11944318 99.722900 -64.139370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11942227--1.11944318) × R
    2.09099999999296e-05 × 6371000     		dl = 133.217609999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11942227--1.11944318) × R
    2.09099999999296e-05 × 6371000     		dr = 133.217609999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74044501-1.74049295) × cos(-1.11942227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436202388566955 × 6371000     		do = 133.227437317742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74044501-1.74049295) × cos(-1.11944318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43618357263768 × 6371000     		du = 133.22169044862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11942227)-sin(-1.11944318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436202388566955-0.43618357263768)×R²
    abs(1.74049295-1.74044501)×1.8815929274163e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8815929274163e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8815929274163e-05×40589641000000     		ar = 17747.8579944986m²