Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101838 / 98254
↖ ↑ ↗
← S 66.458470°
E 99.706421°		 ← 121.99 m → S 66.458470°
E 99.709168°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.459567°
E 99.706421°		 ← 121.99 m →
14 883 m²		 S 66.459567°
E 99.709168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776966094970703 y=0.749622344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776966094970703 × 217)
    floor (0.776966094970703 × 131072)
    floor (101838.5)     		tx = 101838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749622344970703 × 217)
    floor (0.749622344970703 × 131072)
    floor (98254.5)     		ty = 98254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101838 / 98254 ti = "17/101838/98254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101838/98254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101838 ÷ 217
    101838 ÷ 131072     		x = 0.776962280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98254 ÷ 217
    98254 ÷ 131072     		y = 0.749618530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776962280273438 × 2 - 1) × π
    0.553924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.74020533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749618530273438 × 2 - 1) × π
    -0.499237060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.568399481769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74020533} λ = 1.74020533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.568399481769))-π/2
    2×atan(0.208378429076842)-π/2
    2×0.20543860868122-π/2
    0.410877217362439-1.57079632675     		φ = -1.15991911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74020533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.706421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15991911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.458470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101838 KachelY 98254 1.74020533 -1.15991911 99.706421 -66.458470
    Oben rechts KachelX + 1 101839 KachelY 98254 1.74025327 -1.15991911 99.709168 -66.458470
    Unten links KachelX 101838 KachelY + 1 98255 1.74020533 -1.15993826 99.706421 -66.459567
    Unten rechts KachelX + 1 101839 KachelY + 1 98255 1.74025327 -1.15993826 99.709168 -66.459567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15991911--1.15993826) × R
    1.91500000001898e-05 × 6371000     		dl = 122.00465000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15991911--1.15993826) × R
    1.91500000001898e-05 × 6371000     		dr = 122.00465000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74020533-1.74025327) × cos(-1.15991911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399413688303183 × 6371000     		do = 121.991221316049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74020533-1.74025327) × cos(-1.15993826) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.399396132069066 × 6371000     		du = 121.985859190252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15991911)-sin(-1.15993826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399413688303183-0.399396132069066)×R²
    abs(1.74025327-1.74020533)×1.75562341173663e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.75562341173663e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.75562341173663e-05×40589641000000     		ar = 14883.1691583734m²