Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101837 / 96315
↖ ↑ ↗
← S 64.238627°
E 99.703674°		 ← 132.75 m → S 64.238627°
E 99.706421°		 →
↑
132.77 m
↓
↑
132.77 m
↓
S 64.239821°
E 99.703674°		 ← 132.74 m →
17 624 m²		 S 64.239821°
E 99.706421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776958465576172 y=0.734828948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776958465576172 × 217)
    floor (0.776958465576172 × 131072)
    floor (101837.5)     		tx = 101837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734828948974609 × 217)
    floor (0.734828948974609 × 131072)
    floor (96315.5)     		ty = 96315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101837 / 96315 ti = "17/101837/96315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101837/96315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101837 ÷ 217
    101837 ÷ 131072     		x = 0.776954650878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96315 ÷ 217
    96315 ÷ 131072     		y = 0.734825134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776954650878906 × 2 - 1) × π
    0.553909301757812 × 3.1415926535     		Λ = 1.74015739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734825134277344 × 2 - 1) × π
    -0.469650268554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.47544983340571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74015739} λ = 1.74015739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47544983340571))-π/2
    2×atan(0.22867583787451)-π/2
    2×0.224810391451965-π/2
    0.449620782903931-1.57079632675     		φ = -1.12117554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74015739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.703674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12117554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.238627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101837 KachelY 96315 1.74015739 -1.12117554 99.703674 -64.238627
    Oben rechts KachelX + 1 101838 KachelY 96315 1.74020533 -1.12117554 99.706421 -64.238627
    Unten links KachelX 101837 KachelY + 1 96316 1.74015739 -1.12119638 99.703674 -64.239821
    Unten rechts KachelX + 1 101838 KachelY + 1 96316 1.74020533 -1.12119638 99.706421 -64.239821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12117554--1.12119638) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dl = 132.771639999433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12117554--1.12119638) × R
    2.08399999999109e-05 × 6371000     		dr = 132.771639999433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74015739-1.74020533) × cos(-1.12117554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434624041413106 × 6371000     		do = 132.745369470301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74015739-1.74020533) × cos(-1.12119638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.434605272565017 × 6371000     		du = 132.739636980985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12117554)-sin(-1.12119638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434624041413106-0.434605272565017)×R²
    abs(1.74020533-1.74015739)×1.87688480891013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87688480891013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87688480891013e-05×40589641000000     		ar = 17624.4398516579m²