Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101834 / 98554
↖ ↑ ↗
← S 66.785415°
E 99.695434°		 ← 120.39 m → S 66.785415°
E 99.698181°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.786497°
E 99.695434°		 ← 120.39 m →
14 489 m²		 S 66.786497°
E 99.698181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776935577392578 y=0.751911163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776935577392578 × 217)
    floor (0.776935577392578 × 131072)
    floor (101834.5)     		tx = 101834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751911163330078 × 217)
    floor (0.751911163330078 × 131072)
    floor (98554.5)     		ty = 98554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101834 / 98554 ti = "17/101834/98554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101834/98554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101834 ÷ 217
    101834 ÷ 131072     		x = 0.776931762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98554 ÷ 217
    98554 ÷ 131072     		y = 0.751907348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776931762695312 × 2 - 1) × π
    0.553863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.74001358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751907348632812 × 2 - 1) × π
    -0.503814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58278055165501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.74001358} λ = 1.74001358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58278055165501))-π/2
    2×atan(0.20540316931208)-π/2
    2×0.202585475620464-π/2
    0.405170951240928-1.57079632675     		φ = -1.16562538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.74001358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.695434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16562538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.785415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101834 KachelY 98554 1.74001358 -1.16562538 99.695434 -66.785415
    Oben rechts KachelX + 1 101835 KachelY 98554 1.74006152 -1.16562538 99.698181 -66.785415
    Unten links KachelX 101834 KachelY + 1 98555 1.74001358 -1.16564427 99.695434 -66.786497
    Unten rechts KachelX + 1 101835 KachelY + 1 98555 1.74006152 -1.16564427 99.698181 -66.786497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16562538--1.16564427) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16562538--1.16564427) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.74001358-1.74006152) × cos(-1.16562538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394175872221825 × 6371000     		do = 120.391457463418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.74001358-1.74006152) × cos(-1.16564427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39415851157983 × 6371000     		du = 120.386155076489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16562538)-sin(-1.16564427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394175872221825-0.39415851157983)×R²
    abs(1.74006152-1.74001358)×1.73606419955896e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73606419955896e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73606419955896e-05×40589641000000     		ar = 14488.5749314042m²