Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101830 / 96594
↖ ↑ ↗
← S 64.569678°
E 99.684448°		 ← 131.15 m → S 64.569678°
E 99.687195°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
S 64.570857°
E 99.684448°		 ← 131.15 m →
17 196 m²		 S 64.570857°
E 99.687195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776905059814453 y=0.736957550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776905059814453 × 217)
    floor (0.776905059814453 × 131072)
    floor (101830.5)     		tx = 101830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736957550048828 × 217)
    floor (0.736957550048828 × 131072)
    floor (96594.5)     		ty = 96594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101830 / 96594 ti = "17/101830/96594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101830/96594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101830 ÷ 217
    101830 ÷ 131072     		x = 0.776901245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96594 ÷ 217
    96594 ÷ 131072     		y = 0.736953735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776901245117188 × 2 - 1) × π
    0.553802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73982183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736953735351562 × 2 - 1) × π
    -0.473907470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4888242283997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73982183} λ = 1.73982183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4888242283997))-π/2
    2×atan(0.225637798150336)-π/2
    2×0.221921424827021-π/2
    0.443842849654041-1.57079632675     		φ = -1.12695348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73982183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.684448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12695348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.569678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101830 KachelY 96594 1.73982183 -1.12695348 99.684448 -64.569678
    Oben rechts KachelX + 1 101831 KachelY 96594 1.73986977 -1.12695348 99.687195 -64.569678
    Unten links KachelX 101830 KachelY + 1 96595 1.73982183 -1.12697406 99.684448 -64.570857
    Unten rechts KachelX + 1 101831 KachelY + 1 96595 1.73986977 -1.12697406 99.687195 -64.570857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12695348--1.12697406) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dl = 131.115179999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12695348--1.12697406) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dr = 131.115179999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73982183-1.73986977) × cos(-1.12695348) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429413133517293 × 6371000     		do = 131.15382407076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73982183-1.73986977) × cos(-1.12697406) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429394547460288 × 6371000     		du = 131.148147410545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12695348)-sin(-1.12697406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429413133517293-0.429394547460288)×R²
    abs(1.73986977-1.73982183)×1.85860570053875e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85860570053875e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85860570053875e-05×40589641000000     		ar = 17195.8851032434m²