Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101829 / 96242
↖ ↑ ↗
← S 64.151347°
E 99.681702°		 ← 133.14 m → S 64.151347°
E 99.684448°		 →
↑
133.15 m
↓
↑
133.15 m
↓
S 64.152544°
E 99.681702°		 ← 133.13 m →
17 727 m²		 S 64.152544°
E 99.684448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776897430419922 y=0.734272003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776897430419922 × 217)
    floor (0.776897430419922 × 131072)
    floor (101829.5)     		tx = 101829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734272003173828 × 217)
    floor (0.734272003173828 × 131072)
    floor (96242.5)     		ty = 96242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101829 / 96242 ti = "17/101829/96242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101829/96242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101829 ÷ 217
    101829 ÷ 131072     		x = 0.776893615722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96242 ÷ 217
    96242 ÷ 131072     		y = 0.734268188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776893615722656 × 2 - 1) × π
    0.553787231445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.73977390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734268188476562 × 2 - 1) × π
    -0.468536376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47195043973344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73977390} λ = 1.73977390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47195043973344))-π/2
    2×atan(0.229477466443493)-π/2
    2×0.225572051053319-π/2
    0.451144102106638-1.57079632675     		φ = -1.11965222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73977390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.681702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11965222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.151347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101829 KachelY 96242 1.73977390 -1.11965222 99.681702 -64.151347
    Oben rechts KachelX + 1 101830 KachelY 96242 1.73982183 -1.11965222 99.684448 -64.151347
    Unten links KachelX 101829 KachelY + 1 96243 1.73977390 -1.11967312 99.681702 -64.152544
    Unten rechts KachelX + 1 101830 KachelY + 1 96243 1.73982183 -1.11967312 99.684448 -64.152544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11965222--1.11967312) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dl = 133.153899999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11965222--1.11967312) × R
    2.08999999999904e-05 × 6371000     		dr = 133.153899999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73977390-1.73982183) × cos(-1.11965222) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.435995456854084 × 6371000     		do = 133.136457775205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73977390-1.73982183) × cos(-1.11967312) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.43597664782756 × 6371000     		du = 133.130714212684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11965222)-sin(-1.11967312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435995456854084-0.43597664782756)×R²
    abs(1.73982183-1.73977390)×1.88090265237917e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.88090265237917e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.88090265237917e-05×40589641000000     		ar = 17727.2561968169m²