Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101828 / 96564
↖ ↑ ↗
← S 64.534272°
E 99.678955°		 ← 131.32 m → S 64.534272°
E 99.681702°		 →
↑
131.31 m
↓
↑
131.31 m
↓
S 64.535453°
E 99.678955°		 ← 131.32 m →
17 243 m²		 S 64.535453°
E 99.681702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776889801025391 y=0.736728668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776889801025391 × 217)
    floor (0.776889801025391 × 131072)
    floor (101828.5)     		tx = 101828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736728668212891 × 217)
    floor (0.736728668212891 × 131072)
    floor (96564.5)     		ty = 96564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101828 / 96564 ti = "17/101828/96564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101828/96564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101828 ÷ 217
    101828 ÷ 131072     		x = 0.776885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96564 ÷ 217
    96564 ÷ 131072     		y = 0.736724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776885986328125 × 2 - 1) × π
    0.55377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73972596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.47344970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4873861214111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73972596} λ = 1.73972596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4873861214111))-π/2
    2×atan(0.225962522883238)-π/2
    2×0.222230396420882-π/2
    0.444460792841764-1.57079632675     		φ = -1.12633553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73972596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12633553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.534272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101828 KachelY 96564 1.73972596 -1.12633553 99.678955 -64.534272
    Oben rechts KachelX + 1 101829 KachelY 96564 1.73977390 -1.12633553 99.681702 -64.534272
    Unten links KachelX 101828 KachelY + 1 96565 1.73972596 -1.12635614 99.678955 -64.535453
    Unten rechts KachelX + 1 101829 KachelY + 1 96565 1.73977390 -1.12635614 99.681702 -64.535453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12633553--1.12635614) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dl = 131.30630999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12633553--1.12635614) × R
    2.06099999999765e-05 × 6371000     		dr = 131.30630999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73972596-1.73977390) × cos(-1.12633553) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429971127185069 × 6371000     		do = 131.324249699656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73972596-1.73977390) × cos(-1.12635614) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429952519506972 × 6371000     		du = 131.318566435804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12633553)-sin(-1.12635614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429971127185069-0.429952519506972)×R²
    abs(1.73977390-1.73972596)×1.86076780968047e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.86076780968047e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.86076780968047e-05×40589641000000     		ar = 17243.3295179782m²