Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101828 / 96253
↖ ↑ ↗
← S 64.164516°
E 99.678955°		 ← 133.10 m → S 64.164516°
E 99.681702°		 →
↑
133.09 m
↓
↑
133.09 m
↓
S 64.165713°
E 99.678955°		 ← 133.10 m →
17 714 m²		 S 64.165713°
E 99.681702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776889801025391 y=0.734355926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776889801025391 × 217)
    floor (0.776889801025391 × 131072)
    floor (101828.5)     		tx = 101828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734355926513672 × 217)
    floor (0.734355926513672 × 131072)
    floor (96253.5)     		ty = 96253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101828 / 96253 ti = "17/101828/96253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101828/96253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101828 ÷ 217
    101828 ÷ 131072     		x = 0.776885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96253 ÷ 217
    96253 ÷ 131072     		y = 0.734352111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776885986328125 × 2 - 1) × π
    0.55377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73972596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734352111816406 × 2 - 1) × π
    -0.468704223632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.47247774562926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73972596} λ = 1.73972596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47247774562926))-π/2
    2×atan(0.229356493520151)-π/2
    2×0.225457126838673-π/2
    0.450914253677347-1.57079632675     		φ = -1.11988207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73972596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11988207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.164516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101828 KachelY 96253 1.73972596 -1.11988207 99.678955 -64.164516
    Oben rechts KachelX + 1 101829 KachelY 96253 1.73977390 -1.11988207 99.681702 -64.164516
    Unten links KachelX 101828 KachelY + 1 96254 1.73972596 -1.11990296 99.678955 -64.165713
    Unten rechts KachelX + 1 101829 KachelY + 1 96254 1.73977390 -1.11990296 99.681702 -64.165713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11988207--1.11990296) × R
    2.08899999998291e-05 × 6371000     		dl = 133.090189998911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11988207--1.11990296) × R
    2.08899999998291e-05 × 6371000     		dr = 133.090189998911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73972596-1.73977390) × cos(-1.11988207) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.435788592091988 × 6371000     		do = 133.101053223783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73972596-1.73977390) × cos(-1.11990296) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.435769789972125 × 6371000     		du = 133.09531057241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11988207)-sin(-1.11990296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435788592091988-0.435769789972125)×R²
    abs(1.73977390-1.73972596)×1.88021198633259e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.88021198633259e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.88021198633259e-05×40589641000000     		ar = 17714.0623178847m²