Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101823 / 96590
S 64.564960°
E 99.665222°
← 131.15 m → S 64.564960°
E 99.667969°

131.18 m

131.18 m
S 64.566140°
E 99.665222°
← 131.14 m →
17 204 m²
S 64.566140°
E 99.667969°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776851654052734 y=0.736927032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776851654052734 × 217)
    floor (0.776851654052734 × 131072)
    floor (101823.5)
    tx = 101823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736927032470703 × 217)
    floor (0.736927032470703 × 131072)
    floor (96590.5)
    ty = 96590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101823 / 96590 ti = "17/101823/96590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101823/96590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101823 ÷ 217
    101823 ÷ 131072
    x = 0.776847839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96590 ÷ 217
    96590 ÷ 131072
    y = 0.736923217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.776847839355469 × 2 - 1) × π
    0.553695678710938 × 3.1415926535
    Λ = 1.73948628
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.736923217773438 × 2 - 1) × π
    -0.473846435546875 × 3.1415926535
    Φ = -1.48863248080122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73948628} λ = 1.73948628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48863248080122))-π/2
    2×atan(0.225681067804551)-π/2
    2×0.221962597860616-π/2
    0.443925195721231-1.57079632675
    φ = -1.12687113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73948628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.665222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12687113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.564960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101823 KachelY 96590 1.73948628 -1.12687113 99.665222 -64.564960
    Oben rechts KachelX + 1 101824 KachelY 96590 1.73953421 -1.12687113 99.667969 -64.564960
    Unten links KachelX 101823 KachelY + 1 96591 1.73948628 -1.12689172 99.665222 -64.566140
    Unten rechts KachelX + 1 101824 KachelY + 1 96591 1.73953421 -1.12689172 99.667969 -64.566140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.12687113--1.12689172) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000
    dl = 131.17888999921m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.12687113--1.12689172) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000
    dr = 131.17888999921m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.73948628-1.73953421) × cos(-1.12687113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4294875030187 × 6371000
    do = 131.149175781502m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.73948628-1.73953421) × cos(-1.12689172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.429468908658679 × 6371000
    du = 131.143497769979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.12687113)-sin(-1.12689172))×
    abs(λ12)×abs(0.4294875030187-0.429468908658679)×
    abs(1.73953421-1.73948628)×1.85943600209959e-05×
    4.79300000000293e-05×1.85943600209959e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85943600209959e-05×40589641000000
    ar = 17203.6308862972m²