Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101819 / 96652
↖ ↑ ↗
← S 64.637998°
E 99.654236°		 ← 130.82 m → S 64.637998°
E 99.656983°		 →
↑
130.86 m
↓
↑
130.86 m
↓
S 64.639175°
E 99.654236°		 ← 130.82 m →
17 119 m²		 S 64.639175°
E 99.656983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776821136474609 y=0.737400054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776821136474609 × 217)
    floor (0.776821136474609 × 131072)
    floor (101819.5)     		tx = 101819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737400054931641 × 217)
    floor (0.737400054931641 × 131072)
    floor (96652.5)     		ty = 96652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101819 / 96652 ti = "17/101819/96652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101819/96652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101819 ÷ 217
    101819 ÷ 131072     		x = 0.776817321777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96652 ÷ 217
    96652 ÷ 131072     		y = 0.737396240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776817321777344 × 2 - 1) × π
    0.553634643554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.73929453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737396240234375 × 2 - 1) × π
    -0.47479248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49160456857767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73929453} λ = 1.73929453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49160456857767))-π/2
    2×atan(0.225011319629744)-π/2
    2×0.221325216508222-π/2
    0.442650433016444-1.57079632675     		φ = -1.12814589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73929453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.654236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12814589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.637998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101819 KachelY 96652 1.73929453 -1.12814589 99.654236 -64.637998
    Oben rechts KachelX + 1 101820 KachelY 96652 1.73934247 -1.12814589 99.656983 -64.637998
    Unten links KachelX 101819 KachelY + 1 96653 1.73929453 -1.12816643 99.654236 -64.639175
    Unten rechts KachelX + 1 101820 KachelY + 1 96653 1.73934247 -1.12816643 99.656983 -64.639175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12814589--1.12816643) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dl = 130.860339999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12814589--1.12816643) × R
    2.05399999999578e-05 × 6371000     		dr = 130.860339999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73929453-1.73934247) × cos(-1.12814589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428335953284734 × 6371000     		do = 130.82482550051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73929453-1.73934247) × cos(-1.12816643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428317392848596 × 6371000     		du = 130.819156665567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12814589)-sin(-1.12816643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428335953284734-0.428317392848596)×R²
    abs(1.73934247-1.73929453)×1.8560436138404e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8560436138404e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8560436138404e-05×40589641000000     		ar = 17119.4102331503m²