Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101817 / 96552
↖ ↑ ↗
← S 64.520097°
E 99.648743°		 ← 131.37 m → S 64.520097°
E 99.651489°		 →
↑
131.37 m
↓
↑
131.37 m
↓
S 64.521279°
E 99.648743°		 ← 131.36 m →
17 257 m²		 S 64.521279°
E 99.651489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776805877685547 y=0.736637115478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776805877685547 × 217)
    floor (0.776805877685547 × 131072)
    floor (101817.5)     		tx = 101817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736637115478516 × 217)
    floor (0.736637115478516 × 131072)
    floor (96552.5)     		ty = 96552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101817 / 96552 ti = "17/101817/96552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101817/96552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101817 ÷ 217
    101817 ÷ 131072     		x = 0.776802062988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96552 ÷ 217
    96552 ÷ 131072     		y = 0.73663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776802062988281 × 2 - 1) × π
    0.553604125976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.73919866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.4732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48681087861566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73919866} λ = 1.73919866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48681087861566))-π/2
    2×atan(0.226092543589718)-π/2
    2×0.222354097434685-π/2
    0.44470819486937-1.57079632675     		φ = -1.12608813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73919866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.648743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12608813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.520097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101817 KachelY 96552 1.73919866 -1.12608813 99.648743 -64.520097
    Oben rechts KachelX + 1 101818 KachelY 96552 1.73924659 -1.12608813 99.651489 -64.520097
    Unten links KachelX 101817 KachelY + 1 96553 1.73919866 -1.12610875 99.648743 -64.521279
    Unten rechts KachelX + 1 101818 KachelY + 1 96553 1.73924659 -1.12610875 99.651489 -64.521279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12608813--1.12610875) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dl = 131.370019999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12608813--1.12610875) × R
    2.06199999999157e-05 × 6371000     		dr = 131.370019999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73919866-1.73924659) × cos(-1.12608813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430194477292971 × 6371000     		do = 131.365058881051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73919866-1.73924659) × cos(-1.12610875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.430175862780331 × 6371000     		du = 131.359374715684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12608813)-sin(-1.12610875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430194477292971-0.430175862780331)×R²
    abs(1.73924659-1.73919866)×1.86145126400139e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86145126400139e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86145126400139e-05×40589641000000     		ar = 17257.0570487528m²