Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101816 / 97912
↖ ↑ ↗
← S 66.080457°
E 99.645996°		 ← 123.84 m → S 66.080457°
E 99.648743°		 →
↑
123.85 m
↓
↑
123.85 m
↓
S 66.081570°
E 99.645996°		 ← 123.83 m →
15 337 m²		 S 66.081570°
E 99.648743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776798248291016 y=0.747013092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776798248291016 × 217)
    floor (0.776798248291016 × 131072)
    floor (101816.5)     		tx = 101816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747013092041016 × 217)
    floor (0.747013092041016 × 131072)
    floor (97912.5)     		ty = 97912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101816 / 97912 ti = "17/101816/97912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101816/97912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101816 ÷ 217
    101816 ÷ 131072     		x = 0.77679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97912 ÷ 217
    97912 ÷ 131072     		y = 0.74700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77679443359375 × 2 - 1) × π
    0.5535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73915072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.4940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55200506209894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73915072} λ = 1.73915072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55200506209894))-π/2
    2×atan(0.211822829821346)-π/2
    2×0.208737390962892-π/2
    0.417474781925784-1.57079632675     		φ = -1.15332154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73915072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15332154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.080457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101816 KachelY 97912 1.73915072 -1.15332154 99.645996 -66.080457
    Oben rechts KachelX + 1 101817 KachelY 97912 1.73919866 -1.15332154 99.648743 -66.080457
    Unten links KachelX 101816 KachelY + 1 97913 1.73915072 -1.15334098 99.645996 -66.081570
    Unten rechts KachelX + 1 101817 KachelY + 1 97913 1.73919866 -1.15334098 99.648743 -66.081570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15332154--1.15334098) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dl = 123.852239999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15332154--1.15334098) × R
    1.94399999999817e-05 × 6371000     		dr = 123.852239999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73915072-1.73919866) × cos(-1.15332154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405453411177863 × 6371000     		do = 123.835908144442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73915072-1.73919866) × cos(-1.15334098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.405435640691848 × 6371000     		du = 123.830480580601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15332154)-sin(-1.15334098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405453411177863-0.405435640691848)×R²
    abs(1.73919866-1.73915072)×1.77704860154781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.77704860154781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.77704860154781e-05×40589641000000     		ar = 15337.0185085954m²