Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101816 / 96592
↖ ↑ ↗
← S 64.567319°
E 99.645996°		 ← 131.17 m → S 64.567319°
E 99.648743°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
S 64.568498°
E 99.645996°		 ← 131.16 m →
17 197 m²		 S 64.568498°
E 99.648743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776798248291016 y=0.736942291259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776798248291016 × 217)
    floor (0.776798248291016 × 131072)
    floor (101816.5)     		tx = 101816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736942291259766 × 217)
    floor (0.736942291259766 × 131072)
    floor (96592.5)     		ty = 96592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101816 / 96592 ti = "17/101816/96592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101816/96592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101816 ÷ 217
    101816 ÷ 131072     		x = 0.77679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96592 ÷ 217
    96592 ÷ 131072     		y = 0.7369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77679443359375 × 2 - 1) × π
    0.5535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73915072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48872835460046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73915072} λ = 1.73915072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48872835460046))-π/2
    2×atan(0.225659431940337)-π/2
    2×0.2219420104526-π/2
    0.4438840209052-1.57079632675     		φ = -1.12691231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73915072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12691231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.567319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101816 KachelY 96592 1.73915072 -1.12691231 99.645996 -64.567319
    Oben rechts KachelX + 1 101817 KachelY 96592 1.73919866 -1.12691231 99.648743 -64.567319
    Unten links KachelX 101816 KachelY + 1 96593 1.73915072 -1.12693289 99.645996 -64.568498
    Unten rechts KachelX + 1 101817 KachelY + 1 96593 1.73919866 -1.12693289 99.648743 -64.568498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12691231--1.12693289) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dl = 131.115179999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12691231--1.12693289) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dr = 131.115179999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73915072-1.73919866) × cos(-1.12691231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429450314116585 × 6371000     		do = 131.165179982204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73915072-1.73919866) × cos(-1.12693289) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42943172842342 × 6371000     		du = 131.159503433116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12691231)-sin(-1.12693289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429450314116585-0.42943172842342)×R²
    abs(1.73919866-1.73915072)×1.85856931649298e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85856931649298e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85856931649298e-05×40589641000000     		ar = 17197.3740428963m²