Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101813 / 98586
↖ ↑ ↗
← S 66.820035°
E 99.637756°		 ← 120.20 m → S 66.820035°
E 99.640503°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
S 66.821116°
E 99.637756°		 ← 120.19 m →
14 450 m²		 S 66.821116°
E 99.640503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776775360107422 y=0.752155303955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776775360107422 × 217)
    floor (0.776775360107422 × 131072)
    floor (101813.5)     		tx = 101813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752155303955078 × 217)
    floor (0.752155303955078 × 131072)
    floor (98586.5)     		ty = 98586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101813 / 98586 ti = "17/101813/98586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101813/98586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101813 ÷ 217
    101813 ÷ 131072     		x = 0.776771545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98586 ÷ 217
    98586 ÷ 131072     		y = 0.752151489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776771545410156 × 2 - 1) × π
    0.553543090820312 × 3.1415926535     		Λ = 1.73900691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752151489257812 × 2 - 1) × π
    -0.504302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58431453244286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73900691} λ = 1.73900691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58431453244286))-π/2
    2×atan(0.205088326339867)-π/2
    2×0.20228335953718-π/2
    0.404566719074361-1.57079632675     		φ = -1.16622961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73900691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.637756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16622961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.820035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101813 KachelY 98586 1.73900691 -1.16622961 99.637756 -66.820035
    Oben rechts KachelX + 1 101814 KachelY 98586 1.73905484 -1.16622961 99.640503 -66.820035
    Unten links KachelX 101813 KachelY + 1 98587 1.73900691 -1.16624848 99.637756 -66.821116
    Unten rechts KachelX + 1 101814 KachelY + 1 98587 1.73905484 -1.16624848 99.640503 -66.821116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16622961--1.16624848) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dl = 120.220769999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16622961--1.16624848) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dr = 120.220769999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73900691-1.73905484) × cos(-1.16622961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393620491765354 × 6371000     		do = 120.19675241514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73900691-1.73905484) × cos(-1.16624848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39360314501315 × 6371000     		du = 120.191455375674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16622961)-sin(-1.16624848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393620491765354-0.39360314501315)×R²
    abs(1.73905484-1.73900691)×1.73467522036064e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73467522036064e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73467522036064e-05×40589641000000     		ar = 14449.8277200331m²