Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101811 / 98547
↖ ↑ ↗
← S 66.777835°
E 99.632263°		 ← 120.43 m → S 66.777835°
E 99.635010°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.778918°
E 99.632263°		 ← 120.42 m →
14 501 m²		 S 66.778918°
E 99.635010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776760101318359 y=0.751857757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776760101318359 × 217)
    floor (0.776760101318359 × 131072)
    floor (101811.5)     		tx = 101811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751857757568359 × 217)
    floor (0.751857757568359 × 131072)
    floor (98547.5)     		ty = 98547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101811 / 98547 ti = "17/101811/98547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101811/98547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101811 ÷ 217
    101811 ÷ 131072     		x = 0.776756286621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98547 ÷ 217
    98547 ÷ 131072     		y = 0.751853942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776756286621094 × 2 - 1) × π
    0.553512573242188 × 3.1415926535     		Λ = 1.73891103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751853942871094 × 2 - 1) × π
    -0.503707885742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.58244499335767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73891103} λ = 1.73891103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58244499335767))-π/2
    2×atan(0.20547210561527)-π/2
    2×0.202651620311875-π/2
    0.405303240623751-1.57079632675     		φ = -1.16549309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73891103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.632263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16549309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.777835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101811 KachelY 98547 1.73891103 -1.16549309 99.632263 -66.777835
    Oben rechts KachelX + 1 101812 KachelY 98547 1.73895897 -1.16549309 99.635010 -66.777835
    Unten links KachelX 101811 KachelY + 1 98548 1.73891103 -1.16551199 99.632263 -66.778918
    Unten rechts KachelX + 1 101812 KachelY + 1 98548 1.73895897 -1.16551199 99.635010 -66.778918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16549309--1.16551199) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16549309--1.16551199) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73891103-1.73895897) × cos(-1.16549309) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.394297447916092 × 6371000     		do = 120.428589810363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73891103-1.73895897) × cos(-1.16551199) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.394280079069352 × 6371000     		du = 120.423284917494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16549309)-sin(-1.16551199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394297447916092-0.394280079069352)×R²
    abs(1.73895897-1.73891103)×1.73688467395849e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73688467395849e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73688467395849e-05×40589641000000     		ar = 14500.7159276313m²