Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101809 / 98619
↖ ↑ ↗
← S 66.855685°
E 99.626770°		 ← 120.05 m → S 66.855685°
E 99.629517°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.856765°
E 99.626770°		 ← 120.04 m →
14 409 m²		 S 66.856765°
E 99.629517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776744842529297 y=0.752407073974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776744842529297 × 217)
    floor (0.776744842529297 × 131072)
    floor (101809.5)     		tx = 101809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752407073974609 × 217)
    floor (0.752407073974609 × 131072)
    floor (98619.5)     		ty = 98619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101809 / 98619 ti = "17/101809/98619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101809/98619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101809 ÷ 217
    101809 ÷ 131072     		x = 0.776741027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98619 ÷ 217
    98619 ÷ 131072     		y = 0.752403259277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776741027832031 × 2 - 1) × π
    0.553482055664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73881516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752403259277344 × 2 - 1) × π
    -0.504806518554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.58589645013032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73881516} λ = 1.73881516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58589645013032))-π/2
    2×atan(0.204764149966711)-π/2
    2×0.201972248212675-π/2
    0.403944496425349-1.57079632675     		φ = -1.16685183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73881516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.626770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16685183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.855685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101809 KachelY 98619 1.73881516 -1.16685183 99.626770 -66.855685
    Oben rechts KachelX + 1 101810 KachelY 98619 1.73886310 -1.16685183 99.629517 -66.855685
    Unten links KachelX 101809 KachelY + 1 98620 1.73881516 -1.16687067 99.626770 -66.856765
    Unten rechts KachelX + 1 101810 KachelY + 1 98620 1.73886310 -1.16687067 99.629517 -66.856765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16685183--1.16687067) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16685183--1.16687067) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73881516-1.73886310) × cos(-1.16685183) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393048425539314 × 6371000     		do = 120.047106226657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73881516-1.73886310) × cos(-1.16687067) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393031101754713 × 6371000     		du = 120.041815096926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16685183)-sin(-1.16687067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393048425539314-0.393031101754713)×R²
    abs(1.73886310-1.73881516)×1.73237846010643e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73237846010643e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73237846010643e-05×40589641000000     		ar = 14408.893397812m²