Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101809 / 96684
↖ ↑ ↗
← S 64.675619°
E 99.626770°		 ← 130.64 m → S 64.675619°
E 99.629517°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
S 64.676794°
E 99.626770°		 ← 130.64 m →
17 062 m²		 S 64.676794°
E 99.629517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776744842529297 y=0.737644195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776744842529297 × 217)
    floor (0.776744842529297 × 131072)
    floor (101809.5)     		tx = 101809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737644195556641 × 217)
    floor (0.737644195556641 × 131072)
    floor (96684.5)     		ty = 96684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101809 / 96684 ti = "17/101809/96684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101809/96684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101809 ÷ 217
    101809 ÷ 131072     		x = 0.776741027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96684 ÷ 217
    96684 ÷ 131072     		y = 0.737640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776741027832031 × 2 - 1) × π
    0.553482055664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73881516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.47528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49313854936551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73881516} λ = 1.73881516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49313854936551))-π/2
    2×atan(0.224666421189807)-π/2
    2×0.220996914560899-π/2
    0.441993829121797-1.57079632675     		φ = -1.12880250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73881516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.626770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12880250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.675619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101809 KachelY 96684 1.73881516 -1.12880250 99.626770 -64.675619
    Oben rechts KachelX + 1 101810 KachelY 96684 1.73886310 -1.12880250 99.629517 -64.675619
    Unten links KachelX 101809 KachelY + 1 96685 1.73881516 -1.12882300 99.626770 -64.676794
    Unten rechts KachelX + 1 101810 KachelY + 1 96685 1.73886310 -1.12882300 99.629517 -64.676794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12880250--1.12882300) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12880250--1.12882300) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73881516-1.73886310) × cos(-1.12880250) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.427742535351713 × 6371000     		do = 130.643580389793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73881516-1.73886310) × cos(-1.12882300) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.427724005299209 × 6371000     		du = 130.637920834794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12880250)-sin(-1.12882300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427742535351713-0.427724005299209)×R²
    abs(1.73886310-1.73881516)×1.85300525043508e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85300525043508e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85300525043508e-05×40589641000000     		ar = 17062.4005547592m²