Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101809 / 96596
↖ ↑ ↗
← S 64.572036°
E 99.626770°		 ← 131.14 m → S 64.572036°
E 99.629517°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
S 64.573216°
E 99.626770°		 ← 131.14 m →
17 203 m²		 S 64.573216°
E 99.629517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776744842529297 y=0.736972808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776744842529297 × 217)
    floor (0.776744842529297 × 131072)
    floor (101809.5)     		tx = 101809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736972808837891 × 217)
    floor (0.736972808837891 × 131072)
    floor (96596.5)     		ty = 96596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101809 / 96596 ti = "17/101809/96596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101809/96596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101809 ÷ 217
    101809 ÷ 131072     		x = 0.776741027832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96596 ÷ 217
    96596 ÷ 131072     		y = 0.736968994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776741027832031 × 2 - 1) × π
    0.553482055664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.73881516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736968994140625 × 2 - 1) × π
    -0.47393798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48892010219894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73881516} λ = 1.73881516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48892010219894))-π/2
    2×atan(0.225616166434349)-π/2
    2×0.221900840983759-π/2
    0.443801681967517-1.57079632675     		φ = -1.12699464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73881516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.626770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12699464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.572036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101809 KachelY 96596 1.73881516 -1.12699464 99.626770 -64.572036
    Oben rechts KachelX + 1 101810 KachelY 96596 1.73886310 -1.12699464 99.629517 -64.572036
    Unten links KachelX 101809 KachelY + 1 96597 1.73881516 -1.12701523 99.626770 -64.573216
    Unten rechts KachelX + 1 101810 KachelY + 1 96597 1.73886310 -1.12701523 99.629517 -64.573216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12699464--1.12701523) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dl = 131.178890000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12699464--1.12701523) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dr = 131.178890000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73881516-1.73886310) × cos(-1.12699464) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429375961221419 × 6371000     		do = 131.142470694784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73881516-1.73886310) × cos(-1.12701523) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.429357365769346 × 6371000     		du = 131.136791165074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12699464)-sin(-1.12701523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429375961221419-0.429357365769346)×R²
    abs(1.73886310-1.73881516)×1.85954520728893e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.85954520728893e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.85954520728893e-05×40589641000000     		ar = 17202.7512210723m²