Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101808 / 98607
↖ ↑ ↗
← S 66.842727°
E 99.624023°		 ← 120.11 m → S 66.842727°
E 99.626770°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.843807°
E 99.624023°		 ← 120.11 m →
14 424 m²		 S 66.843807°
E 99.626770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776737213134766 y=0.752315521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776737213134766 × 217)
    floor (0.776737213134766 × 131072)
    floor (101808.5)     		tx = 101808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752315521240234 × 217)
    floor (0.752315521240234 × 131072)
    floor (98607.5)     		ty = 98607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101808 / 98607 ti = "17/101808/98607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101808/98607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101808 ÷ 217
    101808 ÷ 131072     		x = 0.7767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98607 ÷ 217
    98607 ÷ 131072     		y = 0.752311706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7767333984375 × 2 - 1) × π
    0.553466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73876722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752311706542969 × 2 - 1) × π
    -0.504623413085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.58532120733488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73876722} λ = 1.73876722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58532120733488))-π/2
    2×atan(0.204881972953907)-π/2
    2×0.202085327252854-π/2
    0.404170654505708-1.57079632675     		φ = -1.16662567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73876722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.624023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16662567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.842727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101808 KachelY 98607 1.73876722 -1.16662567 99.624023 -66.842727
    Oben rechts KachelX + 1 101809 KachelY 98607 1.73881516 -1.16662567 99.626770 -66.842727
    Unten links KachelX 101808 KachelY + 1 98608 1.73876722 -1.16664452 99.624023 -66.843807
    Unten rechts KachelX + 1 101809 KachelY + 1 98608 1.73881516 -1.16664452 99.626770 -66.843807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16662567--1.16664452) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16662567--1.16664452) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73876722-1.73881516) × cos(-1.16662567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393256373625234 × 6371000     		do = 120.110618924125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73876722-1.73881516) × cos(-1.16664452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393239042321398 × 6371000     		du = 120.105325497826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16662567)-sin(-1.16664452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393256373625234-0.393239042321398)×R²
    abs(1.73881516-1.73876722)×1.73313038354106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73313038354106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73313038354106e-05×40589641000000     		ar = 14424.1687449111m²