Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101805 / 96604
↖ ↑ ↗
← S 64.581470°
E 99.615784°		 ← 131.10 m → S 64.581470°
E 99.618530°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
S 64.582649°
E 99.615784°		 ← 131.09 m →
17 188 m²		 S 64.582649°
E 99.618530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776714324951172 y=0.737033843994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776714324951172 × 217)
    floor (0.776714324951172 × 131072)
    floor (101805.5)     		tx = 101805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737033843994141 × 217)
    floor (0.737033843994141 × 131072)
    floor (96604.5)     		ty = 96604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101805 / 96604 ti = "17/101805/96604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101805/96604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101805 ÷ 217
    101805 ÷ 131072     		x = 0.776710510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96604 ÷ 217
    96604 ÷ 131072     		y = 0.737030029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776710510253906 × 2 - 1) × π
    0.553421020507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.73862341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737030029296875 × 2 - 1) × π
    -0.47406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4893035973959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73862341} λ = 1.73862341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4893035973959))-π/2
    2×atan(0.225529660306567)-π/2
    2×0.221818523431493-π/2
    0.443637046862985-1.57079632675     		φ = -1.12715928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73862341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.615784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12715928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.581470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101805 KachelY 96604 1.73862341 -1.12715928 99.615784 -64.581470
    Oben rechts KachelX + 1 101806 KachelY 96604 1.73867135 -1.12715928 99.618530 -64.581470
    Unten links KachelX 101805 KachelY + 1 96605 1.73862341 -1.12717986 99.615784 -64.582649
    Unten rechts KachelX + 1 101806 KachelY + 1 96605 1.73867135 -1.12717986 99.618530 -64.582649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12715928--1.12717986) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dl = 131.115179999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12715928--1.12717986) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dr = 131.115179999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73862341-1.73867135) × cos(-1.12715928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429227264764294 × 6371000     		do = 131.097054968724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73862341-1.73867135) × cos(-1.12717986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429208676889 × 6371000     		du = 131.091377753158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12715928)-sin(-1.12717986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429227264764294-0.429208676889)×R²
    abs(1.73867135-1.73862341)×1.85878752933522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85878752933522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85878752933522e-05×40589641000000     		ar = 17188.4417756733m²