Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101801 / 98620
↖ ↑ ↗
← S 66.856765°
E 99.604797°		 ← 120.04 m → S 66.856765°
E 99.607544°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.857844°
E 99.604797°		 ← 120.04 m →
14 408 m²		 S 66.857844°
E 99.607544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776683807373047 y=0.752414703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776683807373047 × 217)
    floor (0.776683807373047 × 131072)
    floor (101801.5)     		tx = 101801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752414703369141 × 217)
    floor (0.752414703369141 × 131072)
    floor (98620.5)     		ty = 98620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101801 / 98620 ti = "17/101801/98620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101801/98620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101801 ÷ 217
    101801 ÷ 131072     		x = 0.776679992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98620 ÷ 217
    98620 ÷ 131072     		y = 0.752410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776679992675781 × 2 - 1) × π
    0.553359985351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.73843166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.50482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58594438702994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73843166} λ = 1.73843166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58594438702994))-π/2
    2×atan(0.204754334443473)-π/2
    2×0.201962827658848-π/2
    0.403925655317696-1.57079632675     		φ = -1.16687067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73843166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.604797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16687067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.856765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101801 KachelY 98620 1.73843166 -1.16687067 99.604797 -66.856765
    Oben rechts KachelX + 1 101802 KachelY 98620 1.73847960 -1.16687067 99.607544 -66.856765
    Unten links KachelX 101801 KachelY + 1 98621 1.73843166 -1.16688951 99.604797 -66.857844
    Unten rechts KachelX + 1 101802 KachelY + 1 98621 1.73847960 -1.16688951 99.607544 -66.857844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16687067--1.16688951) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16687067--1.16688951) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73843166-1.73847960) × cos(-1.16687067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393031101754713 × 6371000     		do = 120.04181509637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73843166-1.73847960) × cos(-1.16688951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393013777830607 × 6371000     		du = 120.03652392403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16687067)-sin(-1.16688951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393031101754713-0.393013777830607)×R²
    abs(1.73847960-1.73843166)×1.73239241056944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73239241056944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73239241056944e-05×40589641000000     		ar = 14408.2583026718m²