Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101800 / 98632
↖ ↑ ↗
← S 66.869715°
E 99.602051°		 ← 119.95 m → S 66.869715°
E 99.604797°		 →
↑
119.97 m
↓
↑
119.97 m
↓
S 66.870794°
E 99.602051°		 ← 119.95 m →
14 390 m²		 S 66.870794°
E 99.604797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776676177978516 y=0.752506256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776676177978516 × 217)
    floor (0.776676177978516 × 131072)
    floor (101800.5)     		tx = 101800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752506256103516 × 217)
    floor (0.752506256103516 × 131072)
    floor (98632.5)     		ty = 98632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101800 / 98632 ti = "17/101800/98632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101800/98632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101800 ÷ 217
    101800 ÷ 131072     		x = 0.77667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98632 ÷ 217
    98632 ÷ 131072     		y = 0.75250244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77667236328125 × 2 - 1) × π
    0.5533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73838373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75250244140625 × 2 - 1) × π
    -0.5050048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58651962982538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73838373} λ = 1.73838373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58651962982538))-π/2
    2×atan(0.204636584858296)-π/2
    2×0.201849813397462-π/2
    0.403699626794924-1.57079632675     		φ = -1.16709670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73838373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.602051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16709670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.869715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101800 KachelY 98632 1.73838373 -1.16709670 99.602051 -66.869715
    Oben rechts KachelX + 1 101801 KachelY 98632 1.73843166 -1.16709670 99.604797 -66.869715
    Unten links KachelX 101800 KachelY + 1 98633 1.73838373 -1.16711553 99.602051 -66.870794
    Unten rechts KachelX + 1 101801 KachelY + 1 98633 1.73843166 -1.16711553 99.604797 -66.870794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16709670--1.16711553) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dl = 119.965929999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16709670--1.16711553) × R
    1.88299999999142e-05 × 6371000     		dr = 119.965929999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73838373-1.73843166) × cos(-1.16709670) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392823251440596 × 6371000     		do = 119.953305491174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73838373-1.73843166) × cos(-1.16711553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.392805935039499 × 6371000     		du = 119.948017719783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16709670)-sin(-1.16711553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392823251440596-0.392805935039499)×R²
    abs(1.73843166-1.73838373)×1.73164010979221e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73164010979221e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73164010979221e-05×40589641000000     		ar = 14389.9926737834m²