Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10180 / 2446
↖ ↑ ↗
← N 77.399095°
E 43.681641°		 ← 533.02 m → N 77.399095°
E 43.703613°		 →
↑
533.13 m
↓
↑
533.13 m
↓
N 77.394300°
E 43.681641°		 ← 533.22 m →
284 221 m²		 N 77.394300°
E 43.703613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621368408203125 y=0.149322509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621368408203125 × 214)
    floor (0.621368408203125 × 16384)
    floor (10180.5)     		tx = 10180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149322509765625 × 214)
    floor (0.149322509765625 × 16384)
    floor (2446.5)     		ty = 2446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10180 / 2446 ti = "14/10180/2446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10180/2446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10180 ÷ 214
    10180 ÷ 16384     		x = 0.621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2446 ÷ 214
    2446 ÷ 16384     		y = 0.1492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1492919921875 × 2 - 1) × π
    0.701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20356340173474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76238845} λ = 0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20356340173474))-π/2
    2×atan(9.05723061536685)-π/2
    2×1.46083268319839-π/2
    2.92166536639678-1.57079632675     		φ = 1.35086904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35086904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.399095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10180 KachelY 2446 0.76238845 1.35086904 43.681641 77.399095
    Oben rechts KachelX + 1 10181 KachelY 2446 0.76277195 1.35086904 43.703613 77.399095
    Unten links KachelX 10180 KachelY + 1 2447 0.76238845 1.35078536 43.681641 77.394300
    Unten rechts KachelX + 1 10181 KachelY + 1 2447 0.76277195 1.35078536 43.703613 77.394300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35086904-1.35078536) × R
    8.36800000001414e-05 × 6371000     		dl = 533.125280000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35086904-1.35078536) × R
    8.36800000001414e-05 × 6371000     		dr = 533.125280000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76238845-0.76277195) × cos(1.35086904) × R
    0.000383499999999981 × 0.218158661872626 × 6371000     		do = 533.02236814213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76238845-0.76277195) × cos(1.35078536) × R
    0.000383499999999981 × 0.218240325534913 × 6371000     		du = 533.221895212427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35086904)-sin(1.35078536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218158661872626-0.218240325534913)×R²
    abs(0.76277195-0.76238845)×8.16636622870404e-05×R²
    0.000383499999999981×8.16636622870404e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.16636622870404e-05×40589641000000     		ar = 284220.885891059m²