Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101799 / 96670
↖ ↑ ↗
← S 64.659167°
E 99.599304°		 ← 130.72 m → S 64.659167°
E 99.602051°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
S 64.660342°
E 99.599304°		 ← 130.72 m →
17 081 m²		 S 64.660342°
E 99.602051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776668548583984 y=0.737537384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776668548583984 × 217)
    floor (0.776668548583984 × 131072)
    floor (101799.5)     		tx = 101799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737537384033203 × 217)
    floor (0.737537384033203 × 131072)
    floor (96670.5)     		ty = 96670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101799 / 96670 ti = "17/101799/96670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101799/96670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101799 ÷ 217
    101799 ÷ 131072     		x = 0.776664733886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96670 ÷ 217
    96670 ÷ 131072     		y = 0.737533569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776664733886719 × 2 - 1) × π
    0.553329467773438 × 3.1415926535     		Λ = 1.73833579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737533569335938 × 2 - 1) × π
    -0.475067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49246743277083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73833579} λ = 1.73833579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49246743277083))-π/2
    2×atan(0.22481724915925)-π/2
    2×0.221140490660353-π/2
    0.442280981320706-1.57079632675     		φ = -1.12851535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73833579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.599304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12851535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.659167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101799 KachelY 96670 1.73833579 -1.12851535 99.599304 -64.659167
    Oben rechts KachelX + 1 101800 KachelY 96670 1.73838373 -1.12851535 99.602051 -64.659167
    Unten links KachelX 101799 KachelY + 1 96671 1.73833579 -1.12853586 99.599304 -64.660342
    Unten rechts KachelX + 1 101800 KachelY + 1 96671 1.73838373 -1.12853586 99.602051 -64.660342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12851535--1.12853586) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dl = 130.669209999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12851535--1.12853586) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dr = 130.669209999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73833579-1.73838373) × cos(-1.12851535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.428002072775225 × 6371000     		do = 130.722849798821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73833579-1.73838373) × cos(-1.12853586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427983536203503 × 6371000     		du = 130.717188252686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12851535)-sin(-1.12853586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428002072775225-0.427983536203503)×R²
    abs(1.73838373-1.73833579)×1.85365717216279e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85365717216279e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85365717216279e-05×40589641000000     		ar = 17081.0816178993m²