Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101798 / 98621
↖ ↑ ↗
← S 66.857844°
E 99.596557°		 ← 120.04 m → S 66.857844°
E 99.599304°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.858924°
E 99.596557°		 ← 120.03 m →
14 408 m²		 S 66.858924°
E 99.599304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776660919189453 y=0.752422332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776660919189453 × 217)
    floor (0.776660919189453 × 131072)
    floor (101798.5)     		tx = 101798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752422332763672 × 217)
    floor (0.752422332763672 × 131072)
    floor (98621.5)     		ty = 98621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101798 / 98621 ti = "17/101798/98621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101798/98621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101798 ÷ 217
    101798 ÷ 131072     		x = 0.776657104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98621 ÷ 217
    98621 ÷ 131072     		y = 0.752418518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776657104492188 × 2 - 1) × π
    0.553314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73828785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752418518066406 × 2 - 1) × π
    -0.504837036132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58599232392956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73828785} λ = 1.73828785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58599232392956))-π/2
    2×atan(0.204744519390749)-π/2
    2×0.201953407520262-π/2
    0.403906815040525-1.57079632675     		φ = -1.16688951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73828785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.596557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16688951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.857844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101798 KachelY 98621 1.73828785 -1.16688951 99.596557 -66.857844
    Oben rechts KachelX + 1 101799 KachelY 98621 1.73833579 -1.16688951 99.599304 -66.857844
    Unten links KachelX 101798 KachelY + 1 98622 1.73828785 -1.16690835 99.596557 -66.858924
    Unten rechts KachelX + 1 101799 KachelY + 1 98622 1.73833579 -1.16690835 99.599304 -66.858924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16688951--1.16690835) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dl = 120.029639999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16688951--1.16690835) × R
    1.88399999998534e-05 × 6371000     		dr = 120.029639999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73828785-1.73833579) × cos(-1.16688951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393013777830607 × 6371000     		do = 120.03652392403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73828785-1.73833579) × cos(-1.16690835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392996453767003 × 6371000     		du = 120.031232709084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16688951)-sin(-1.16690835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393013777830607-0.392996453767003)×R²
    abs(1.73833579-1.73828785)×1.73240636039962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73240636039962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73240636039962e-05×40589641000000     		ar = 14407.6232024136m²