Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101794 / 98605
↖ ↑ ↗
← S 66.840567°
E 99.585571°		 ← 120.10 m → S 66.840567°
E 99.588318°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.841647°
E 99.585571°		 ← 120.09 m →
14 422 m²		 S 66.841647°
E 99.588318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776630401611328 y=0.752300262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776630401611328 × 217)
    floor (0.776630401611328 × 131072)
    floor (101794.5)     		tx = 101794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752300262451172 × 217)
    floor (0.752300262451172 × 131072)
    floor (98605.5)     		ty = 98605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101794 / 98605 ti = "17/101794/98605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101794/98605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101794 ÷ 217
    101794 ÷ 131072     		x = 0.776626586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98605 ÷ 217
    98605 ÷ 131072     		y = 0.752296447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776626586914062 × 2 - 1) × π
    0.553253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73809611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752296447753906 × 2 - 1) × π
    -0.504592895507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58522533353564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73809611} λ = 1.73809611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58522533353564))-π/2
    2×atan(0.204901616708695)-π/2
    2×0.202104179574952-π/2
    0.404208359149903-1.57079632675     		φ = -1.16658797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73809611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.585571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16658797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.840567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101794 KachelY 98605 1.73809611 -1.16658797 99.585571 -66.840567
    Oben rechts KachelX + 1 101795 KachelY 98605 1.73814404 -1.16658797 99.588318 -66.840567
    Unten links KachelX 101794 KachelY + 1 98606 1.73809611 -1.16660682 99.585571 -66.841647
    Unten rechts KachelX + 1 101795 KachelY + 1 98606 1.73814404 -1.16660682 99.588318 -66.841647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16658797--1.16660682) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16658797--1.16660682) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73809611-1.73814404) × cos(-1.16658797) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.3932910358137 × 6371000     		do = 120.096149076391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73809611-1.73814404) × cos(-1.16660682) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.393273704789336 × 6371000     		du = 120.09085683961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16658797)-sin(-1.16660682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3932910358137-0.393273704789336)×R²
    abs(1.73814404-1.73809611)×1.7331024363576e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.7331024363576e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.7331024363576e-05×40589641000000     		ar = 14422.4310838787m²