Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101792 / 96608
↖ ↑ ↗
← S 64.586185°
E 99.580078°		 ← 131.07 m → S 64.586185°
E 99.582825°		 →
↑
131.05 m
↓
↑
131.05 m
↓
S 64.587364°
E 99.580078°		 ← 131.07 m →
17 177 m²		 S 64.587364°
E 99.582825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776615142822266 y=0.737064361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776615142822266 × 217)
    floor (0.776615142822266 × 131072)
    floor (101792.5)     		tx = 101792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737064361572266 × 217)
    floor (0.737064361572266 × 131072)
    floor (96608.5)     		ty = 96608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101792 / 96608 ti = "17/101792/96608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101792/96608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101792 ÷ 217
    101792 ÷ 131072     		x = 0.776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96608 ÷ 217
    96608 ÷ 131072     		y = 0.737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776611328125 × 2 - 1) × π
    0.55322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73800023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.47412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48949534499438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73800023} λ = 1.73800023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48949534499438))-π/2
    2×atan(0.225486419681593)-π/2
    2×0.221777375346157-π/2
    0.443554750692314-1.57079632675     		φ = -1.12724158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73800023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12724158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.586185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101792 KachelY 96608 1.73800023 -1.12724158 99.580078 -64.586185
    Oben rechts KachelX + 1 101793 KachelY 96608 1.73804817 -1.12724158 99.582825 -64.586185
    Unten links KachelX 101792 KachelY + 1 96609 1.73800023 -1.12726215 99.580078 -64.587364
    Unten rechts KachelX + 1 101793 KachelY + 1 96609 1.73804817 -1.12726215 99.582825 -64.587364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12724158--1.12726215) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dl = 131.051469999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12724158--1.12726215) × R
    2.05699999999975e-05 × 6371000     		dr = 131.051469999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73800023-1.73804817) × cos(-1.12724158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429152930237076 × 6371000     		do = 131.074351290741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73800023-1.73804817) × cos(-1.12726215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.429134350667271 × 6371000     		du = 131.068676611885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12724158)-sin(-1.12726215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429152930237076-0.429134350667271)×R²
    abs(1.73804817-1.73800023)×1.8579569804833e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8579569804833e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8579569804833e-05×40589641000000     		ar = 17177.1145791204m²