Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101791 / 98603
↖ ↑ ↗
← S 66.838406°
E 99.577332°		 ← 120.11 m → S 66.838406°
E 99.580078°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.839487°
E 99.577332°		 ← 120.10 m →
14 424 m²		 S 66.839487°
E 99.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776607513427734 y=0.752285003662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776607513427734 × 217)
    floor (0.776607513427734 × 131072)
    floor (101791.5)     		tx = 101791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752285003662109 × 217)
    floor (0.752285003662109 × 131072)
    floor (98603.5)     		ty = 98603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101791 / 98603 ti = "17/101791/98603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101791/98603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101791 ÷ 217
    101791 ÷ 131072     		x = 0.776603698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98603 ÷ 217
    98603 ÷ 131072     		y = 0.752281188964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776603698730469 × 2 - 1) × π
    0.553207397460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.73795230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752281188964844 × 2 - 1) × π
    -0.504562377929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.5851294597364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73795230} λ = 1.73795230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5851294597364))-π/2
    2×atan(0.204921262346896)-π/2
    2×0.202123033558912-π/2
    0.404246067117824-1.57079632675     		φ = -1.16655026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73795230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.577332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16655026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.838406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101791 KachelY 98603 1.73795230 -1.16655026 99.577332 -66.838406
    Oben rechts KachelX + 1 101792 KachelY 98603 1.73800023 -1.16655026 99.580078 -66.838406
    Unten links KachelX 101791 KachelY + 1 98604 1.73795230 -1.16656911 99.577332 -66.839487
    Unten rechts KachelX + 1 101792 KachelY + 1 98604 1.73800023 -1.16656911 99.580078 -66.839487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16655026--1.16656911) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16655026--1.16656911) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73795230-1.73800023) × cos(-1.16655026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393325706637177 × 6371000     		do = 120.106736229986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73795230-1.73800023) × cos(-1.16656911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393308375892384 × 6371000     		du = 120.101444078575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16655026)-sin(-1.16656911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393325706637177-0.393308375892384)×R²
    abs(1.73800023-1.73795230)×1.73307447929316e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73307447929316e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73307447929316e-05×40589641000000     		ar = 14423.7025357528m²