Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10179 / 2444
↖ ↑ ↗
← N 77.408678°
E 43.659668°		 ← 532.61 m → N 77.408678°
E 43.681641°		 →
↑
532.68 m
↓
↑
532.68 m
↓
N 77.403887°
E 43.659668°		 ← 532.81 m →
283 763 m²		 N 77.403887°
E 43.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621307373046875 y=0.149200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621307373046875 × 214)
    floor (0.621307373046875 × 16384)
    floor (10179.5)     		tx = 10179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149200439453125 × 214)
    floor (0.149200439453125 × 16384)
    floor (2444.5)     		ty = 2444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10179 / 2444 ti = "14/10179/2444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10179/2444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10179 ÷ 214
    10179 ÷ 16384     		x = 0.62127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2444 ÷ 214
    2444 ÷ 16384     		y = 0.149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62127685546875 × 2 - 1) × π
    0.2425537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76200496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149169921875 × 2 - 1) × π
    0.70166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20433039212866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76200496} λ = 0.76200496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20433039212866))-π/2
    2×atan(9.06418008899344)-π/2
    2×1.46091631469349-π/2
    2.92183262938697-1.57079632675     		φ = 1.35103630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76200496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35103630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.408678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10179 KachelY 2444 0.76200496 1.35103630 43.659668 77.408678
    Oben rechts KachelX + 1 10180 KachelY 2444 0.76238845 1.35103630 43.681641 77.408678
    Unten links KachelX 10179 KachelY + 1 2445 0.76200496 1.35095269 43.659668 77.403887
    Unten rechts KachelX + 1 10180 KachelY + 1 2445 0.76238845 1.35095269 43.681641 77.403887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35103630-1.35095269) × R
    8.36100000001228e-05 × 6371000     		dl = 532.679310000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35103630-1.35095269) × R
    8.36100000001228e-05 × 6371000     		dr = 532.679310000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76200496-0.76238845) × cos(1.35103630) × R
    0.000383490000000042 × 0.217995427560739 × 6371000     		do = 532.609652768829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76200496-0.76238845) × cos(1.35095269) × R
    0.000383490000000042 × 0.218077025960664 × 6371000     		du = 532.809015186367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35103630)-sin(1.35095269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217995427560739-0.218077025960664)×R²
    abs(0.76238845-0.76200496)×8.15983999252201e-05×R²
    0.000383490000000042×8.15983999252201e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.15983999252201e-05×40589641000000     		ar = 283763.240619126m²