Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101789 / 97507
S 65.625423°
E 99.571838°
← 126.05 m → S 65.625423°
E 99.574585°

126.02 m

126.02 m
S 65.626557°
E 99.571838°
← 126.04 m →
15 884 m²
S 65.626557°
E 99.574585°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776592254638672 y=0.743923187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776592254638672 × 217)
    floor (0.776592254638672 × 131072)
    floor (101789.5)
    tx = 101789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743923187255859 × 217)
    floor (0.743923187255859 × 131072)
    floor (97507.5)
    ty = 97507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101789 / 97507 ti = "17/101789/97507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101789/97507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101789 ÷ 217
    101789 ÷ 131072
    x = 0.776588439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97507 ÷ 217
    97507 ÷ 131072
    y = 0.743919372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.776588439941406 × 2 - 1) × π
    0.553176879882812 × 3.1415926535
    Λ = 1.73785642
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.743919372558594 × 2 - 1) × π
    -0.487838745117188 × 3.1415926535
    Φ = -1.53259061775282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73785642} λ = 1.73785642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53259061775282))-π/2
    2×atan(0.215975432163033)-π/2
    2×0.212708307877691-π/2
    0.425416615755383-1.57079632675
    φ = -1.14537971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73785642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.571838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14537971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.625423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101789 KachelY 97507 1.73785642 -1.14537971 99.571838 -65.625423
    Oben rechts KachelX + 1 101790 KachelY 97507 1.73790436 -1.14537971 99.574585 -65.625423
    Unten links KachelX 101789 KachelY + 1 97508 1.73785642 -1.14539949 99.571838 -65.626557
    Unten rechts KachelX + 1 101790 KachelY + 1 97508 1.73790436 -1.14539949 99.574585 -65.626557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.14537971--1.14539949) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000
    dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.14537971--1.14539949) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000
    dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.73785642-1.73790436) × cos(-1.14537971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412700299986228 × 6371000
    do = 126.049294521433m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.73785642-1.73790436) × cos(-1.14539949) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412682282958725 × 6371000
    du = 126.043791657475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.14537971)-sin(-1.14539949))×
    abs(λ12)×abs(0.412700299986228-0.412682282958725)×
    abs(1.73790436-1.73785642)×1.80170275032587e-05×
    4.79399999999686e-05×1.80170275032587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80170275032587e-05×40589641000000
    ar = 15884.1811650957m²