Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101789 / 97506
↖ ↑ ↗
← S 65.624290°
E 99.571838°		 ← 126.05 m → S 65.624290°
E 99.574585°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
S 65.625423°
E 99.571838°		 ← 126.05 m →
15 885 m²		 S 65.625423°
E 99.574585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776592254638672 y=0.743915557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776592254638672 × 217)
    floor (0.776592254638672 × 131072)
    floor (101789.5)     		tx = 101789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743915557861328 × 217)
    floor (0.743915557861328 × 131072)
    floor (97506.5)     		ty = 97506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101789 / 97506 ti = "17/101789/97506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101789/97506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101789 ÷ 217
    101789 ÷ 131072     		x = 0.776588439941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97506 ÷ 217
    97506 ÷ 131072     		y = 0.743911743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776588439941406 × 2 - 1) × π
    0.553176879882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.73785642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743911743164062 × 2 - 1) × π
    -0.487823486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5325426808532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73785642} λ = 1.73785642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5325426808532))-π/2
    2×atan(0.215985785603798)-π/2
    2×0.212718199880056-π/2
    0.425436399760112-1.57079632675     		φ = -1.14535993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73785642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.571838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14535993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.624290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101789 KachelY 97506 1.73785642 -1.14535993 99.571838 -65.624290
    Oben rechts KachelX + 1 101790 KachelY 97506 1.73790436 -1.14535993 99.574585 -65.624290
    Unten links KachelX 101789 KachelY + 1 97507 1.73785642 -1.14537971 99.571838 -65.625423
    Unten rechts KachelX + 1 101790 KachelY + 1 97507 1.73790436 -1.14537971 99.574585 -65.625423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14535993--1.14537971) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dl = 126.018380000865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14535993--1.14537971) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dr = 126.018380000865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73785642-1.73790436) × cos(-1.14535993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412718316852263 × 6371000     		do = 126.054797336074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73785642-1.73790436) × cos(-1.14537971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412700299986228 × 6371000     		du = 126.049294521433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14535993)-sin(-1.14537971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412718316852263-0.412700299986228)×R²
    abs(1.73790436-1.73785642)×1.80168660351421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80168660351421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80168660351421e-05×40589641000000     		ar = 15884.8746243137m²