Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101787 / 98527
↖ ↑ ↗
← S 66.756166°
E 99.566345°		 ← 120.53 m → S 66.756166°
E 99.569092°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
S 66.757250°
E 99.566345°		 ← 120.53 m →
14 529 m²		 S 66.757250°
E 99.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776576995849609 y=0.751705169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776576995849609 × 217)
    floor (0.776576995849609 × 131072)
    floor (101787.5)     		tx = 101787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751705169677734 × 217)
    floor (0.751705169677734 × 131072)
    floor (98527.5)     		ty = 98527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101787 / 98527 ti = "17/101787/98527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101787/98527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101787 ÷ 217
    101787 ÷ 131072     		x = 0.776573181152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98527 ÷ 217
    98527 ÷ 131072     		y = 0.751701354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776573181152344 × 2 - 1) × π
    0.553146362304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.73776055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751701354980469 × 2 - 1) × π
    -0.503402709960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.58148625536527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73776055} λ = 1.73776055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58148625536527))-π/2
    2×atan(0.205669193992263)-π/2
    2×0.202840717572011-π/2
    0.405681435144023-1.57079632675     		φ = -1.16511489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73776055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.566345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16511489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.756166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101787 KachelY 98527 1.73776055 -1.16511489 99.566345 -66.756166
    Oben rechts KachelX + 1 101788 KachelY 98527 1.73780849 -1.16511489 99.569092 -66.756166
    Unten links KachelX 101787 KachelY + 1 98528 1.73776055 -1.16513381 99.566345 -66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 101788 KachelY + 1 98528 1.73780849 -1.16513381 99.569092 -66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16511489--1.16513381) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dl = 120.539320000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16511489--1.16513381) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dr = 120.539320000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73776055-1.73780849) × cos(-1.16511489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39464497903151 × 6371000     		do = 120.534734757904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73776055-1.73780849) × cos(-1.16513381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 120.529425113463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16511489)-sin(-1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39464497903151-0.394627594627558)×R²
    abs(1.73780849-1.73776055)×1.73844039522697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73844039522697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73844039522697e-05×40589641000000     		ar = 14528.854954199m²