Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101785 / 98453
↖ ↑ ↗
← S 66.675825°
E 99.560852°		 ← 120.93 m → S 66.675825°
E 99.563599°		 →
↑
120.92 m
↓
↑
120.92 m
↓
S 66.676912°
E 99.560852°		 ← 120.92 m →
14 622 m²		 S 66.676912°
E 99.563599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776561737060547 y=0.751140594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776561737060547 × 217)
    floor (0.776561737060547 × 131072)
    floor (101785.5)     		tx = 101785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751140594482422 × 217)
    floor (0.751140594482422 × 131072)
    floor (98453.5)     		ty = 98453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101785 / 98453 ti = "17/101785/98453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101785/98453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101785 ÷ 217
    101785 ÷ 131072     		x = 0.776557922363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98453 ÷ 217
    98453 ÷ 131072     		y = 0.751136779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776557922363281 × 2 - 1) × π
    0.553115844726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.73766467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751136779785156 × 2 - 1) × π
    -0.502273559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.57793892479339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73766467} λ = 1.73766467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57793892479339))-π/2
    2×atan(0.206400066167999)-π/2
    2×0.203541827420117-π/2
    0.407083654840233-1.57079632675     		φ = -1.16371267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73766467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.560852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16371267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.675825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101785 KachelY 98453 1.73766467 -1.16371267 99.560852 -66.675825
    Oben rechts KachelX + 1 101786 KachelY 98453 1.73771261 -1.16371267 99.563599 -66.675825
    Unten links KachelX 101785 KachelY + 1 98454 1.73766467 -1.16373165 99.560852 -66.676912
    Unten rechts KachelX + 1 101786 KachelY + 1 98454 1.73771261 -1.16373165 99.563599 -66.676912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16371267--1.16373165) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dl = 120.921579999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16371267--1.16373165) × R
    1.89799999998908e-05 × 6371000     		dr = 120.921579999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73766467-1.73771261) × cos(-1.16371267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395932997599404 × 6371000     		do = 120.928128782137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73766467-1.73771261) × cos(-1.16373165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.395915568585027 × 6371000     		du = 120.922805512523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16371267)-sin(-1.16373165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395932997599404-0.395915568585027)×R²
    abs(1.73771261-1.73766467)×1.74290143775124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74290143775124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74290143775124e-05×40589641000000     		ar = 14622.4985500633m²