Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 101784 / 98522
↖ ↑ ↗
← S 66.750746°
E 99.558106°		 ← 120.54 m → S 66.750746°
E 99.560852°		 →
↑
120.54 m
↓
↑
120.54 m
↓
S 66.751830°
E 99.558106°		 ← 120.53 m →
14 529 m²		 S 66.751830°
E 99.560852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776554107666016 y=0.751667022705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776554107666016 × 217)
    floor (0.776554107666016 × 131072)
    floor (101784.5)     		tx = 101784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751667022705078 × 217)
    floor (0.751667022705078 × 131072)
    floor (98522.5)     		ty = 98522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101784 / 98522 ti = "17/101784/98522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101784/98522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101784 ÷ 217
    101784 ÷ 131072     		x = 0.77655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98522 ÷ 217
    98522 ÷ 131072     		y = 0.751663208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77655029296875 × 2 - 1) × π
    0.5531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73761674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751663208007812 × 2 - 1) × π
    -0.503326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58124657086717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73761674} λ = 1.73761674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58124657086717))-π/2
    2×atan(0.205718495617982)-π/2
    2×0.202888017921914-π/2
    0.405776035843828-1.57079632675     		φ = -1.16502029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73761674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.558106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16502029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.750746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101784 KachelY 98522 1.73761674 -1.16502029 99.558106 -66.750746
    Oben rechts KachelX + 1 101785 KachelY 98522 1.73766467 -1.16502029 99.560852 -66.750746
    Unten links KachelX 101784 KachelY + 1 98523 1.73761674 -1.16503921 99.558106 -66.751830
    Unten rechts KachelX + 1 101785 KachelY + 1 98523 1.73766467 -1.16503921 99.560852 -66.751830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16502029--1.16503921) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dl = 120.539320000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16502029--1.16503921) × R
    1.89200000000334e-05 × 6371000     		dr = 120.539320000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73761674-1.73766467) × cos(-1.16502029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394731898932102 × 6371000     		do = 120.536133963735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73761674-1.73766467) × cos(-1.16503921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394714515234561 × 6371000     		du = 120.530825642565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16502029)-sin(-1.16503921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394731898932102-0.394714515234561)×R²
    abs(1.73766467-1.73761674)×1.73836975418951e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73836975418951e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73836975418951e-05×40589641000000     		ar = 14529.0236932248m²