Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101783 / 97497
↖ ↑ ↗
← S 65.614086°
E 99.555359°		 ← 126.10 m → S 65.614086°
E 99.558106°		 →
↑
126.08 m
↓
↑
126.08 m
↓
S 65.615220°
E 99.555359°		 ← 126.10 m →
15 899 m²		 S 65.615220°
E 99.558106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776546478271484 y=0.743846893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776546478271484 × 217)
    floor (0.776546478271484 × 131072)
    floor (101783.5)     		tx = 101783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743846893310547 × 217)
    floor (0.743846893310547 × 131072)
    floor (97497.5)     		ty = 97497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101783 / 97497 ti = "17/101783/97497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101783/97497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101783 ÷ 217
    101783 ÷ 131072     		x = 0.776542663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97497 ÷ 217
    97497 ÷ 131072     		y = 0.743843078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776542663574219 × 2 - 1) × π
    0.553085327148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.73756880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743843078613281 × 2 - 1) × π
    -0.487686157226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.53211124875661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73756880} λ = 1.73756880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53211124875661))-π/2
    2×atan(0.216078988908116)-π/2
    2×0.212807247340045-π/2
    0.425614494680089-1.57079632675     		φ = -1.14518183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73756880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.555359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14518183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.614086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101783 KachelY 97497 1.73756880 -1.14518183 99.555359 -65.614086
    Oben rechts KachelX + 1 101784 KachelY 97497 1.73761674 -1.14518183 99.558106 -65.614086
    Unten links KachelX 101783 KachelY + 1 97498 1.73756880 -1.14520162 99.555359 -65.615220
    Unten rechts KachelX + 1 101784 KachelY + 1 97498 1.73761674 -1.14520162 99.558106 -65.615220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14518183--1.14520162) × R
    1.9789999999853e-05 × 6371000     		dl = 126.082089999063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14518183--1.14520162) × R
    1.9789999999853e-05 × 6371000     		dr = 126.082089999063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73756880-1.73761674) × cos(-1.14518183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412880534242157 × 6371000     		do = 126.104342702423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73756880-1.73761674) × cos(-1.14520162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412862509722374 × 6371000     		du = 126.098837550131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14518183)-sin(-1.14520162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412880534242157-0.412862509722374)×R²
    abs(1.73761674-1.73756880)×1.80245197829443e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80245197829443e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80245197829443e-05×40589641000000     		ar = 15899.1520357949m²