Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 101781 / 96663
↖ ↑ ↗
← S 64.650936°
E 99.549866°		 ← 130.74 m → S 64.650936°
E 99.552612°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
S 64.652112°
E 99.549866°		 ← 130.73 m →
17 099 m²		 S 64.652112°
E 99.552612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 101781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776531219482422 y=0.737483978271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776531219482422 × 217)
    floor (0.776531219482422 × 131072)
    floor (101781.5)     		tx = 101781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737483978271484 × 217)
    floor (0.737483978271484 × 131072)
    floor (96663.5)     		ty = 96663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 101781 / 96663 ti = "17/101781/96663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/101781/96663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 101781 ÷ 217
    101781 ÷ 131072     		x = 0.776527404785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96663 ÷ 217
    96663 ÷ 131072     		y = 0.737480163574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776527404785156 × 2 - 1) × π
    0.553054809570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.73747293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737480163574219 × 2 - 1) × π
    -0.474960327148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.49213187447349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73747293} λ = 1.73747293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49213187447349))-π/2
    2×atan(0.224892701111147)-π/2
    2×0.221212311374179-π/2
    0.442424622748359-1.57079632675     		φ = -1.12837170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73747293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.549866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12837170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.650936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 101781 KachelY 96663 1.73747293 -1.12837170 99.549866 -64.650936
    Oben rechts KachelX + 1 101782 KachelY 96663 1.73752086 -1.12837170 99.552612 -64.650936
    Unten links KachelX 101781 KachelY + 1 96664 1.73747293 -1.12839223 99.549866 -64.652112
    Unten rechts KachelX + 1 101782 KachelY + 1 96664 1.73752086 -1.12839223 99.552612 -64.652112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12837170--1.12839223) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12837170--1.12839223) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73747293-1.73752086) × cos(-1.12837170) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.428131896032928 × 6371000     		do = 130.735224880444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73747293-1.73752086) × cos(-1.12839223) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.428113342647875 × 6371000     		du = 130.729559381121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12837170)-sin(-1.12839223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428131896032928-0.428113342647875)×R²
    abs(1.73752086-1.73747293)×1.85533850526887e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85533850526887e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85533850526887e-05×40589641000000     		ar = 17099.3563231326m²